Vyjádření přirozeného čísla v číselné soustavě

Vyjádření přirozeného čísla v číselné soustavě

Každé přirozené číslo a lze zapsat pomocí polynomu ve tvaru

a = anzn + an-1zn-1 + ... + a2z2 + a1z1 + a0z0

kde a je číslo vyjádřené v číselné soustavě o základu z. z je základ číselné soustavy, z je celé kladné číslo větší než jedna. Číslo zi, kde i = 0, 1, ..., n se nazývá jednotka řádu i, nebo také jednotka i-tého řádu. ai jsou číselné koeficienty pro něž platí ai <0,1,2, ..., z-1>. Nazýváme je číslice neboli cifry ; o číslici ai říkáme, že je číslicí i-tého řádu, neboli číslicí řádu i. n je počet řádových míst. Číslo a je n + 1 ciferné v soustavě o základu z.

Tento zápis nazýváme rozvojem čísla a v soustavě o základu z . Číslo a běžně píšeme zkráceně ve tvaru

a = (anan-1 ... a1a0)z

který nazýváme pozičním zápisem přirozeného čísla a v soustavě o základu z. Označení poziční znamená, že každá číslice má v zápisu čísla na jiném místě (jiné pozici) odlišný význam. Například 724 se nerovná 742. Proto jsou tyto číselné soustavy nazývány poziční číselné soustavy. Příkladem nepoziční číselné soustavy jsou římské číslice.

V praxi se běžně používá soustava o základu deset (desítková, decimální), ve výpočetní technice ještě soustavy o základu dva (dvojková, binární) a šestnáct (šestnáctková, hexadecimální) a někdy i osm (osmičková, oktalová).

Desítková soustava

Desítkovou (decimální) soustavou je nazývána soustava o základu deset (z = 10). Používá deset číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jednotky některých řádů mají speciální názvy: 10 ... deset, 102 ... sto, 103 ... tisíc, 106 ... milión, 109 ... miliarda, 1012 ... bilión atd.Každé číslo lze v desítkové soustavě zapsat pomocí polynomu

a = an · 10n + an-1 · 10n-1 + ... + a2 · 102 + a1 · 101 + a0 · 100

Například číslo 3725 můžeme rozepsat

3725 = 3 · 103 + 7 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100 = 3 · 1000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 5 · 1

Desítková soustava je nejrozšířenější číselnou soustavou, používanou téměř na celém světě. Byla pravděpodobně odvozena od počtu prstů na rukou. Tyto prsty jsou velmi často používány jako primitivní počítací stroj, zvláště malými dětmi, pro jednoduché matematické operace sčítání a odčítání.

Dvojková soustava

Dvojkovou (binární) soustavou je nazývána soustava o základu dva (z = 2). Používá pouze dvou číslic 0 a 1. Je používána především ve výpočetní technice. Každé číslo lze ve dvojkové soustavě zapsat pomocí polynomu

a = an · 2n + an-1 · 2n-1 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20

Šestnáctková soustava

Šestnáctkovou (hexadecimální) soustavou je nazývána soustava o základu šestnáct (z = 16). Používá šestnácti číslic; protože však v běžném životě používáme pouze deset číslic, jsou pro vyjádření zbývajících číslic použity písmena ze začátku abecedy. V šestnáctkové soustavě se tedy používají tyto číslice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Každé číslo lze v šestnáctkové soustavě zapsat pomocí polynomu