Funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu DOC.
11.
Funkce
Definice: Funkce je zobrazení v oboru R, je to množina A uspořádaných dvojic x, y, v nichž podle určitého předpisu je každému x přiřazeno právě jedno y. Množina A se nazývá definiční obor funkce.
Označení definičního oboru: D(f), Df - čteme na ose x
-množina všech hodnot proměnné x, k nimž lze určit funkční hodnoty y
Označení oboru hodnot: H(f), Hf - čteme na ose y
- množina všech funkčních hodnot y
Zápis funkce: y=2x x∈R
f(x)=2x x∈R (funkční hodnota v bodě x=2x)
f:y=2x x∈R
x→2x x∈R (x se přiřazuje 2x)
(y=proměnná, argument fce f; x=funkční hodnota)
Zobrazení funkce: 1) Analytické zadání – viz zápis funkce
2) Grafické zadání – zadáno grafem
3) zadání Výčtem, Tabelární – tabulka, užívá se u konečných množin
Zvláštní typ funkcí: Celá část argumentu x
y=[x] x∈R 2,1=2 2,9=2
Signum argumentu x
y=sgn x x∈R
sgn x= |x|/x pro x≠ 0
sgn x=0 pro x=0
Rovnost funkcí: Dvě funkce f(x) a g(x) jsou si rovny, jestliže definiční obor funkce f je roven definičnímu oboru funkce g.
∀ x∈ D(f) je f(x)=g(x)
Složená funkce: fce g,f g: u=g(x) D(g)→ H(g)≠ ∅
f: y=f(x) D(f)→ H(g)⊂ D(f)
h(x)=f(g(x)) ∀ x=D(h)
h je složená funkce s funkcí g,f přesně v tomto pořadí
h=f o g
Př. h o y=√ 1-x D(h) = (-∞,1>
g: u=1-x D(g)=D(h)=(-∞,1)
f: y=√ u H(g)=<0,∞) (kvůli odmocnině)
→D(f)=<0,∞)
Př. f:x=log x g o f
g:y=-3x
D(f)=(0,∞) D(g)=R
Dg o f=(0,∞) → y=-3 log x
- f o g -3x∈ (0, ∞)
D(f o g)=(-∞, 0) → y=log (-3x)
Důležité vlastnosti funkce:
Sudá - ∀ x∈D(f); f(-x)=f(x). Její graf je souměrný podle osy y (parabola, kvadratická funkce)
Lichá - ∀ x∈D(f); f(-x)=-f(x). Její graf je středově souměrný podle počátku soustavy (přímka)
Omezení funkce – množině M, která je M⊂ D(f) lze najít čísla D, H tak, aby pro všechn a x z množiny M platilo, že D≤ f(x)≤ H (D – nejmenší číslo, H – největší číslo)
y=x2 D=0, omezená sdola sin, cos – omezená sdola i shora y=sin x
Absolutní (globální) extrémy – je-li a ∈M; b∈M; říkáme, že funkce má na množině M maximum v bodě a (minimum v bodě b) právě tehdy, když ∀ x∈ M; x≠ a (x≠ b); f(x)<f(a) (f(x)>f(b)). Extrémem projde jen jednou (ne sin, cos)
Rostoucí funkce: ∀ x⊂ M; M⊂ D(f) x1< x2→ f(x1)< f(x2)
Klesající funkce: x1< x2→ f(x1)> f(x2)
Funkce klesající a rostoucí jsou ryze monotónní na M. Funkce neklesající (nerostoucí) jsou pouze monotónními na M.
Prostá funkce: v D(f)↔∀ x1∈ D(f) Λ x1≠ x2→ f(x1)≠ f(x2). Každá funkce, je-li ryze monotónní, je prostá. Obrácená věta neplatí. K prosté funkci se dá vytvořit funkce inverzní, která je také prostá. Značíme ji f-1(x) a vzniká záměnnou proměnných x, y a též jejich obrazů: D(f)=H(f-1); H(f)=D(f-1). Grafy dvojice inverzních funkcí v kartézské soustavě jsou vzájemně souměrné podle osy y=x
Periodická funkce: je to taková funkce, pro kterou existuje číslo p≠ 0 (perioda) a platí x∈ D(f)→ (x+p)∈ D(f) Λ f(x+p)=f(x) (sin)