Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Funkce

DOC
Stáhnout kompletní materiál zdarma (29.5 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu DOC.

11.

Funkce

Definice: Funkce je zobrazení v oboru R, je to množina A uspořádaných dvojic x, y, v nichž podle určitého předpisu je každému x přiřazeno právě jedno y. Množina A se nazývá definiční obor funkce.

Označení definičního oboru: D(f), Df - čteme na ose x

-množina všech hodnot proměnné x, k nimž lze určit funkční hodnoty y

Označení oboru hodnot: H(f), Hf - čteme na ose y

- množina všech funkčních hodnot y

Zápis funkce: y=2x x∈R

f(x)=2x x∈R (funkční hodnota v bodě x=2x)

f:y=2x x∈R

x→2x x∈R (x se přiřazuje 2x)

(y=proměnná, argument fce f; x=funkční hodnota)

Zobrazení funkce: 1) Analytické zadání – viz zápis funkce

2) Grafické zadání – zadáno grafem

3) zadání Výčtem, Tabelární – tabulka, užívá se u konečných množin

Zvláštní typ funkcí: Celá část argumentu x

y=[x] x∈R 2,1=2 2,9=2

Signum argumentu x

y=sgn x x∈R

sgn x= |x|/x pro x≠ 0

sgn x=0 pro x=0

Rovnost funkcí: Dvě funkce f(x) a g(x) jsou si rovny, jestliže definiční obor funkce f je roven definičnímu oboru funkce g.

∀ x∈ D(f) je f(x)=g(x)

Složená funkce: fce g,f g: u=g(x) D(g)→ H(g)≠ ∅

f: y=f(x) D(f)→ H(g)⊂ D(f)

h(x)=f(g(x)) ∀ x=D(h)

h je složená funkce s funkcí g,f přesně v tomto pořadí

h=f o g

Př. h o y=√ 1-x D(h) = (-∞,1>

g: u=1-x D(g)=D(h)=(-∞,1)

f: y=√ u H(g)=<0,∞) (kvůli odmocnině)

→D(f)=<0,∞)

Př. f:x=log x g o f

g:y=-3x

D(f)=(0,∞) D(g)=R

Dg o f=(0,∞) → y=-3 log x

- f o g -3x∈ (0, ∞)

D(f o g)=(-∞, 0) → y=log (-3x)

Důležité vlastnosti funkce:

  1. Sudá - ∀ x∈D(f); f(-x)=f(x). Její graf je souměrný podle osy y (parabola, kvadratická funkce)

Lichá - ∀ x∈D(f); f(-x)=-f(x). Její graf je středově souměrný podle počátku soustavy (přímka)

  1. Omezení funkce – množině M, která je M⊂ D(f) lze najít čísla D, H tak, aby pro všechn a x z množiny M platilo, že D≤ f(x)≤ H (D – nejmenší číslo, H – největší číslo)

y=x2 D=0, omezená sdola sin, cos – omezená sdola i shora y=sin x

  1. Absolutní (globální) extrémy – je-li a ∈M; b∈M; říkáme, že funkce má na množině M maximum v bodě a (minimum v bodě b) právě tehdy, když ∀ x∈ M; x≠ a (x≠ b); f(x)<f(a) (f(x)>f(b)). Extrémem projde jen jednou (ne sin, cos)

  2. Rostoucí funkce: ∀ x⊂ M; M⊂ D(f) x1< x2→ f(x1)< f(x2)

Klesající funkce: x1< x2→ f(x1)> f(x2)

Funkce klesající a rostoucí jsou ryze monotónní na M. Funkce neklesající (nerostoucí) jsou pouze monotónními na M.

  1. Prostá funkce: v D(f)↔∀ x1∈ D(f) Λ x1≠ x2→ f(x1)≠ f(x2). Každá funkce, je-li ryze monotónní, je prostá. Obrácená věta neplatí. K prosté funkci se dá vytvořit funkce inverzní, která je také prostá. Značíme ji f-1(x) a vzniká záměnnou proměnných x, y a též jejich obrazů: D(f)=H(f-1); H(f)=D(f-1). Grafy dvojice inverzních funkcí v kartézské soustavě jsou vzájemně souměrné podle osy y=x

  2. Periodická funkce: je to taková funkce, pro kterou existuje číslo p≠ 0 (perioda) a platí x∈ D(f)→ (x+p)∈ D(f) Λ f(x+p)=f(x) (sin)

Témata, do kterých materiál patří