Logická výstavba matematiky

3.

Logická výstavba matematiky

Pojmy: Axiom (postulát), vlastnosti axiomů, definice, věta, hlavní metody důkazů

Axiom (postulát) – výchozí matematický výrok, který se prohlásí za pravdivý bez dokazování (fakt – tráva je zelená). Obsahuje základní primitivní pojmy, které se nedefinují (pokládají se za zavedené soustavou axiomů). Nelze je odvodit z něčeho jednoduššího.

Vlastnosti soustavy axiomů

bezespornost – ze soustavy axiomů není možné vyvodit žádný výrok a zároveň negaci

úplnost – ze soustavy axiomů je možné vyvodit pravdivost nebo nepravdivost libovolného matematického výroku, který není axiomem

nezávislost – nelze odvodit jeden axiom z ostatních axiomů (každý je nezávislý na ostatních)

Euklides vyjmenoval všechny axiomy (14). 2 části (Aitemata – postuláty, Koinai ennoiai – všeobecně uznávané pravdy, zásady). Nezná slovo přímka – používal slovo Eutheia (rovná konečná čára, která jde podle potřeby prodloužit nebo zkrátit). Dokonalý axiomatický systém, Planimetrii, vypracoval David Hilbert na přelomu 19. a 20. století.

Definice – určení nově zaváděného pojmu pomocí pojmů již zavedených.

Ze soustavy axiomů s použitím definic se struktura matematiky buduje pomocí matematických vět.

Matematická věta (poučka, teorém) – matematický výrok, který na základě axiomů, definic a dříve dokázaných vět přináší nová tvrzení týkající se právě studovaného objektu. Specifický příklad vět jsou pravdila (Binomická, Pythagorova věta).

Pomocné věty – Lemmy – něco říkají

Věta se musí dokázat, obsahuje nová tvrzení!

Obecná věta - ∀ x ∈ D; A(x) ⇒ B(x)

Existenční věta - ∃ x ∈ D; A(x) ⇒ B(x)

(Př. Nultá mocnina neexistuje - 0)

Individuální věta – týkají se jediného objektu skupiny objektů množiny

(Př. Trojúhelník se stranami 3,4,5 je pravoúhlý)

Hlavní metody důkazů

1) přímý - implikace A ⇒ B se provádí pomocí řetězce pravdivých implikací.

A(x) ⇒ A1 (x1) ⇒ A2 (x2) ..... ⇒ B(x)

∀ n ∈ N; n je sudé ⇒ n2 je sudé

n je sudé ⇒ ∃ k ∈ N; n=2k ⇒ n2=4k2 ⇒ n2=2.2k2 ⇒ n je sudé

A1(x) A2(x) A3(x) B(x)

2) nepřímý – implikace A ⇒ B provádíme jako přímý důkaz její obměny B‘ ⇒ A‘, neboť obě jsou ekvivalentní

A(x) ⇒ B(x) dokážeme přímo

¬ B(x) ⇒ ¬ A(x) má s původní stejné pravdivostní hodnoty

obměna původní věty

Není-li n sudé číslo není ani n2 sudé číslo

n liché ⇒ n=2k+1

3) důkaz sporem – Výroku V (např. A⇒ B) se provádí tak, že se daný výrok V neguje a pomocí řetězce implikací se dospěje k logickému sporu. Ze sporu vyplývá, že negované tvrzení V‘ neplatí, musí tedy platit původní výrok V.

A(x) ⇒ B(x) neplatí

n2 je sudé ⇒ n je sudé

∃ n2 sudé ∧ n liché

n2 – liché

n liché ⇒ n2=(2k+1)2 ⇒ n2=2(2k2+2k)+1 ⇒ n2 je liché (spor)

4) důkaz matematickou indukcí – používá se pro výroky, kde proměnné jsou prvky množiny m