Skalární součin

Vektorov´e prostory se skal´

arn´ım souˇcinem

2. prosince 2005

1

Skal´

arn´ı souˇ

cin geometrick´

ych vektor˚

u

Skal´arn´ı souˇcin geometrick´ych vektor˚

u je definov´an jako souˇcin jejich velikost´ı n´asoben´y

kosinem jejich odchylky.

Oznaˇc´ıme-li skal´arn´ı souˇcin vektor˚

u a, b symbolem a·b,

velikosti symboly kak, kbk, je

a · b = kakkbk cos ω

(1)

ω

a

b

Vˇsimnˇete si, ˇze ze znam´enka skal´arn´ıho souˇcinu dvou vektor˚

u je moˇzn´e zjistit n´asleduj´ıc´ı

informaci o jejich odchylce: kladn´y – nulov´y – z´aporn´y skal´arn´ı souˇcin znamen´a ostr´y –
prav´y – tup´y ´

uhel (nakreslete si graf kosinu na intervalu h0, πi).

Uvˇedomte si, ˇze pro vektory sv´ıraj´ıc´ı ostr´y nebo prav´y

´

uhel je kbk cos ω velikost´ı kolm´eho pr˚

umˇetu vektoru b

do smˇeru vektoru a. Oznaˇc´ıme-li tuto velikost ba, pak

pro ω ≤ π/2 plat´ı a · b = bakak

(2)

ω

Pro tup´y ´

uhel ω lze v´yˇse uveden´e snadno zobecnit. Staˇc´ı

si uvˇedomit, ˇze cos(π − ω) = − cos ω. Proto

pro ω ∈ hπ/2, πi plat´ı a · b = −bakak

(3)

a pro vˇsechna ω ∈ h0, πi plat´ı |a · b| = bakak (4)

ω

Zavedeme-li kart´ezsk´y souˇradn´y syst´em, m˚

uˇzeme n´asledovnˇe vypoˇc´ıst skal´arn´ı souˇcin a ·b

vektor˚

u a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3

(5)

a n´asledovnˇe velikost vektoru a

kak =

q

a

2
1

+ a

2
2

+ a

2
3

(6)

1

1.1

Vlastnosti skal´

arn´ıho souˇ

cinu geometrick´

ych vektor˚

u

Uvedeme nˇekolik vlastnost´ı, kter´e maj´ı oba v´yˇse uveden´e skal´arn´ı souˇciny i s dok´az´an´ım
jejich platnosti.

1. Pro kaˇzd´y vektor a plat´ı kak

2 = a · a

2. Pro kaˇzd´y vektor a plat´ı kak ≥ 0, pˇritom kak = 0 pouze pro nulov´y vektor.

3. Pro kaˇzd´e dva vektory a, b plat´ı ka + bk ≤ kak + kbk