11 – Goniometrické funkce

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Goniometrické funkce

Definice

:

• Jako goniometrické funkce označujeme skupinu 4 základních funkcí
• Obvykle se popisují jako poměr dvou stran pravoúhlého trojúhelníku nebo poměr

určitých částí úseček v jednotkové kružnici

• Inverzní funkce k funkcím goniometrickým označujeme jako cyklometrické

Pojmy:

• Jednotková kružnice – kružnice, jejíž poloměr je 1 (jednotka, nikoliv konkrétní míra)
• Radián – středový úhel, který náleží oblouky délky 1 na kružnici (𝑟𝑎𝑑 = 57,3°)
• Orientovaný úhel – úhel, u něhož rozlišujeme počáteční a koncové rameno
• Základní velikost orientovaného úhlu – úhel, od něhož nejde odečíst nejmenší perioda

Goniometrické funkce ostrého úhlu:

∆𝐶𝐴𝐵 = 𝛼
∆𝐵𝐶𝐴 = 𝛾 = 90°

sin 𝛼 =

𝑎

𝑐

cos 𝛼 =

𝑏

𝑐

tan 𝛼 =

𝑎
𝑏

cot 𝛼 =

𝑏
𝑎

Definice goniometrických funkcí:

• Sinus α je poměr odvěsny protilehlé k úhlu 𝛼 a přepony pravoúhlého trojúhelníku
• Kosinus α je poměr odvěsny přilehlé k úhlu α a přepony trojúhelníku
• Tangens α je poměr odvěsny protilehlé k úhlu α a odvěsny přilehlé
• Kotangens α je poměr odvěsny přilehlé k úhlu α a protilehlé k úhlu α

Vlastnosti funkce Sinus:

• Funkce Sinus je taková funkce v množině R, kterou je každému 𝑥 z oboru reálných

čísel přiřazeno číslo 𝑦𝑙.

• Předpisem funkce je 𝑦 = sin 𝑥 a grafem funkce sinus v reálném oboru je sinusoida.
• Definiční obor: 𝐷 = (−∞; ∞), obor hodnot funkce sinus: 𝐻

sin 𝑥 = 〈−1; 1〉

• V kvadrantech I a IV je rostoucí a v kvadrantech II a III je klesající.
• Funkce sinus má nejmenší periodu 2𝜋, jedná se o funkci lichou (středově souměrnou)

Vlastnosti funkce Kosinus:

• Funkce Kosinus se nazývá taková funkce v množině R, kde je každému 𝑥 z oboru

reálných čísel přiřazeno číslo 𝑦𝑙.

• Definiční obor: 𝐷 = 𝑅, obor hodnot funkce kosinus: 𝐻

cos 𝑥 = 〈−1; 1〉

• Funkce Kosinus je periodická, nejmenší perioda je 2𝜋
• Je to funkce sudá (osově souměrná) a omezená shora (1) i zdola (–1)
• V kvadrantech I a II je funkce klesající, v kvadrantech III a IV je rostoucí
• Pro kosinus (sudou funkci) jako jedinou PLATÍ, že cos(−𝑥) = cos 𝑥
• Pro ostatní goniometrické funkce platí, že 𝑓

(−𝑥) = −𝑓𝑥 (protože jsou liché)

Vlastnosti funkce Tangens:

• Funkce Tangens je definována jako poměr funkce sinus a kosinus (tan 𝑥 =

sin 𝑥

cos 𝑥

)

• Funkce je periodická (opakuje se po 𝜋), není omezená a nemá maximum ani minimum
• Definiční obor: 𝐷 = 𝑅 / {

𝜋

2

+ 𝑘𝜋}, obor hodnot: 𝐻tan𝑥 = 𝑅

• Nejmenší perioda je 𝜋, funkce je rostoucí v intervalu (−

𝜋

2

;

𝜋

2

), nikoliv však v jejich

sjednoceních, pouze v každé zvlášť, funkce je lichá