Předmět Matematika 1 (F1711)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu F1711 - Matematika 1, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita (MU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Cíl

Předmět je první částí úvodu do základů matematické analýzy, lineární algebry a teorie pravděpodobnosti. Je určen studentům bakalářských nefyzikálních a profesních fyzikálních programů. Jeho cílem je naučit studenty používat matematické postupy běžné v přírodních vědách, nikoli však jako pouhé rutinní procedury, ale s pochopením jejich podstaty. Výklad problematiky je založen spíše na názorném zavádění pojmů motivovaném potřebou konkrétního výpočetního aparátu přírodních věd (fyziky, chemie, biologie, věd o Zemi), popř. i geometrie, a na intuitivně pochopitelném vysvětlení vlastností těchto pojmů, než na tradičním schématu definice - věta --důkaz. Matematická tvrzení jsou však vždy formulována korektně, s uvedením potřebných předpokladů a pro názornost i protipříkladů. Pozornost je věnována zejména pojmům, bez kterých se studium žádné přírodní vědy nemůže obejít: pojem funkce a jeho vlastnosti a základní pojmy lineární algebry. Studenti programů a oborů, kde je matematika přímo součástí vědní discipliny samotné, mohou předmět chápat jako průpravu pro absolvování nezbytných teoretických matematických disciplin.Student získá praxi ve výpočtech z oblasti lineární algebry (řešení soustav lineárních rovnic), základů matematické analýzy (počítání limit, rutinní derivování a integrování) a základní orientaci v oblasti počtu pravděpodobnosti a zpracování měření.

Osnova

1. Lineární algebra poprvé(To nejnutnější z lineární algebry)1.1 Lineární rovnice (1. týden)(Linearita neboli úměra je všudypřítomná -- v geometrii, ve fyzice, v chemii, biologii a bůhvíkde ještě.)* lineární zákony (fyzikální, chemické, biologické, ...)* lineární geometrické útvary -- přímky a roviny* soustavy lineárních rovnic* Gaussova eliminace a k čemu mohou být matice1.2 Algebra čísel, vektorů a matic (2. a 3. týden)(Počítat s čísly umí každý (?) -- ale s vektory a maticemi to jde také.)* reálná čísla a vlastnosti množin reálných čísel, komplexní čísla* vektory v R3 a počítání s nimi: součet, násobení číslem; lineárně závislé a nezávislé vektory, báze; skalární, vektorový a smíšený součin a jejich geometrický význam matice a počítání s nimi: součet, násobení číslem, součin, hodnost* čtvercové matice: determinant, inverzní matice* přechody mezi bázemi -- vida, k čemu také mohou být matice* vektory, matice a fyzikální i nefyzikální veličiny2.Funkce jedné proměnné(Všechno souvisí se vším, ale v přírodě je zejména důležitá závislost na čase -- funkce, čáry (grafy) a čáry s funkcemi.)2.1 Funkce a jejich grafy (3. a 4. týden)(K získání představy o chování funkce nejlépe poslouží její graf .)* funkce a její graf, operace s funkcemi: součet, součin, podíl, skládání, inverze* limity všeho druhu -- jak se chová funkce a její graf, jestliže se proměnná libovolně blíží k předem dané hodnotě* posloupnosti (také funkce) a jejich limity, posloupnosti všudypřítomné: kolik máme pra...prababiček, proč nehrát "letadlo", jak si spočítat úroky, ...* spojité funkce -- funkce, jejichž graf není přetržen, obvykle popisují přírodní jevy* elementární funkce -- název zamlčuje, že úvahy o nich tak zcela elementární nejsou (polynomy, racionální funkce, exponenciály a mocniny, logaritmy, goniometrické a cyklometrické funkce), jak se příroda řídí elementárními funkcemi (kmitání, oběh planet, jaderný rozpad, absorpce záření, vidění a slyšení, ...)2.2 Derivování (5., 6. a 7. týden)(Aby bylo možné rychle a výstižně nakreslit graf funkce, je třeba znát některé triky.)* derivace určuje sklon grafu, tj. rychlost jeho změny: pravidla pro derivování součtu, součinu a podílu funkcí, složených a inverzních funkcí, derivace implicitní funkce -- jde jen o výpočty limit* derivace derivovaných funkcí, neboli derivace vyšších řádů: počítáme křivost a další charakteristiky grafu* diferenciály -- zatím stručně jen pro pořádek* průběh funkce: návod na rychlé nakreslení grafu* funkce zadané parametricky, trajektorie částic -- geometrie a fyzika, ale i jiné oblasti přírodovědy* primitivní funkce: než jsme si stačili všimnout, někdo funkci zderivoval -- jak vypadala?* pravidla pro hledání primitivních funkcí: substituční metody, per partes2.3 Integrování (8, 9. a 10. týden)(Jak si poradit s výpočtem plochy rovinného útvaru nebo objemu tělesa, nenajdeme li vzorec v tabulkách,aneb na co všechno stačí jednoduchý integrál.)* plocha pod grafem funkce dlážděná proužky: dělení intervalu, horní a dolní součty funkce* integrabilita -- horní a dolní součty funkce vedou k témuž výsledku, Riemannův integrál* kdo by se trápil s dělením, stačí najít primitivní funkci: Newtonova-Leibnizova formule -- vztah mezi Riemannovým integrálem a primitivní funkcí* co všechno lze jednoduchým integrálem počítat -- někdy dokonce i charakteristiky dvojrozměrných a trojrozměrných těles (hmotnost, plocha, těžiště, moment setrvačnosti ... )* křivkový integrál prvního druhu: hmotnosti, momenty setrvačnosti, těžiště křivek (drátů)* (jsou i jiné typy integrálů -- stručný průvodce)3. Pravděpodobnost(Život je jen náhoda, ale i ta má své zákonitosti.)3.1 Základní informace o pravděpodobnostech (11. týden)(Kostky jsou vrženy, karty rozdány -- ale kolika způsoby to lze udělat?)* náhodné jevy, co je to pravděpodobnost* kombinace, variace, s opakováním i bez -- kdo se v tom vyzná ?* neslučitelné jevy a nezávislé jevy -- kdy pravděpodobnosti sčítat a kdy násobit ?* podmíněná pravděpodobnost -- sníží se pravděpodobnost výskytu další bomby v letadle, vezmeme-li si tam svou vlastní ?* výpočty pravděpodobností -- má smysl sázet Sportku ?3.2 Náhodné veličiny (12. týden)(Jak přesně mohou Číňané změřit svého císaře?)* náhodná veličina s diskrétním rozdělením, střední hodnota, střední kvadratická odchylka* náhodná veličina se spojitým rozdělením, střední hodnota, střední kvadratická odchylka (ve hře opět integrál), různé typy rozdělení* to nejjednodušší ze základů zpracování měření3.3 Co je matematická statistika (13. týden)(Statistika je věda o zjišťování, zpracování, hodnocení a interpretaci číselných údajů ssloužících k popisu rozsáhlých souborů popř k redukci rušivých odchylek způsobených náhodnými činiteli.)* spousta nových názvů s přesnou definicí: pozorování, četnosti, statistiky, odhady, modely, parametry, náhodný výběr, třídění, korelace, ...* testy významnosti* odhady* prokládání křivek: lineární regrese a metoda nejmenších čtverců

Literatura

povinná literaturaMUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ . Matematika pro porozumění i praxi I. Brno: VUTIUM, 2006. 281 s. Vysokoškolské učebnice. ISBN 80-214-2914-3. infodoporučená literaturaKVASNICA, Jozef. Matematický aparát fyziky. 2. opr. vyd. Praha: Academia, 1997. 383 s. ISBN 80-200-0603-6. infoMUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ . Matematika II pro porozumění i praxi. první. Brno: VUTIUM (Vysoké učení technické v Brně), 2012. 697 s. ISBN 978-80-214-4071-5. info

Požadavky

Středoškolská matematika

Garant

prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.

Vyučující

Mgr. Pavla Musilová, Ph.D.Mgr. Pavla Musilová, Ph.D.Mgr. Michal PazderkaMgr. Kateřina Zuzaňáková