Předmět Integrování forem (F3063)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu F3063 - Integrování forem, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita (MU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Cíl

Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.Předmět sleduje především tyto cíle:* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.*Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.*Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).

Osnova

1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.4. Antisymetrické tenzory, vnější součin.5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.6. Vnější derivace.7. Indukovaná zobrazení -- tečné zobrazení asociované se zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.8. Indukovaná zobrazení -- inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.9. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.10. Stokesův teorém.11. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.12. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.13. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.14. Praktické výpočty.

Literatura

povinná literaturaKRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na Euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982. 320 s. infodoporučená literaturaSPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. : Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. infoNAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990. xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info

Požadavky

M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál.Algebra: Tenzory a operace s nimi.

Garant

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.Mgr. Michael Krbek, Ph.D.