Předmět Variační počet a jeho aplikace (F4260)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu F4260 - Variační počet a jeho aplikace, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita (MU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Cíl

Významné fyzikální teorie jsou často založeny na tzv. variačním principu, spočívajícím v nalezení podmínek pro stacionárnost jistého funkcionálu. Například v mechanice se jedná o zobrazení přiřazující přípustným trajektoriím v konfiguračním prostoru mechanické soustavy reálné číslo vhodně definovaným integrálem (definice vychází z fyziky). Podmínka stacionarity pak vede k nalezení pohybových rovnic soustavy. Obdobná je situace v teorii polí, kde se "trajektoriemi" rozumí vyjádření veličin popisujících pole v závislosti na prostoročasových souřadnicích. Podstata problému je však stejná. Vedle problému pohybových rovnic samotných je třeba řešit otázku okrajových podmínek (tzv. úlohy s pevnými resp. volnými konci). Ve fyzice bývají časté i situace, kdy je soustava podrobena vazebním podmínkám. Jedná se o tzv. vázané (podmíněné) stacionární úlohy. Uvedené a mnohé další problémy jsou v matematice řešeny v rámci disciplíny zvané "Variační počet."Cílem předmětu je poskytnout jeho absolventům základní matematické znalosti z oblasti variačního počtu, zejména se zaměřením na výše uvedené problémy, a představu o možnostech využití variačního počtu pro řešení fyzikálních, popřípadě technických úloh.Absolvováním disciplíny zská student tyto základní znalosti a dovednosti:* Pochopení podstaty variační úlohy, její formulace a řešení.* Pochopení podstaty odlišnosti variačních úloh s různým typem okrajových podmínek (pevné konce, volné konce).* Zvládnutí praktických výpočetních postupů při řešení rovnic vyplývajících z formulace variačních úloh.* Pochopení pojmu integrálů pohybu.* Použití variačního počtu při řešení konkrétních úloh z oblasti variačních fyzikálních teorií.

Osnova

I. Úvod.I-1. Fyzikální a geometrické úlohy variačního typu (šíření světla, úloha o brachistochroně, izoperimetrický problém, úloha o minimální rotační ploše,....).II. Elementární způsoby řešení stacionárních úloh - funkce jedné proměnné.II-2. Funkcionál, podmínka stacionarity, Eulerova rovnice a její odvození, speciální případy.II-3. Aplikace (geometrické úlohy, úlohy z mechaniky hmotného bodu a soustav hmotných bodů).II-4. Přibližné řešení variačních úloh.III. Metoda variací - funkce jedné proměnné.III-5. Klasifikace stacionárních bodů.III-6. Variace funkce, variace funkcionálu, věty variačního počtu.III-7. Eulerovy rovnice, invariance.IV. Funkcionály pro funkce více proměnných.IV-8. Formulace úlohy, Eulerovy rovnice.IV-9. Aplikace - teorie polí.V. Úlohy s volnými konci.V-10. Formulace úlohy, úloha s volnými konci v jednorozměrném prostoru, aplikace.V-11. Úloha s volnými konci v trojrozměrném prostoru, aplikace.VI. Vázané (podmíněné) stacionární úlohy. VI-12. Obecná formulace vázané úlohy, typy vazebních podmínek ve fyzice, příklady.VI-13. Metoda Lagrangeových multiplikátorů. VII. Úvod do variačního počtu na fibrovaných prostorech.VII-14. Fibrované euklidovské prostory, řezy a jejich prodloužení, vektorová pole, diferenciální formy.VII-15. Variační problém na fibrovaném prostoru, Lagrangeova struktura, extremály, aplikace.

Literatura

Průběžně zveřejňovaný text k přednášceGEL'FAND, Izrail Moisejevič a Sergej Vasil'jevič FOMIN. Calculus of variations. Edited by Richard A. Silverman. Mineola, N. Y.: Dover Publications, 2000. vii, 232 s. ISBN 0-486-41448-5. info

Požadavky

diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných, základy multilineární algebry (tenzory), diferenciální formy na euklidovských prostorech

Garant

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Vyučující

prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.Mgr. Michael Krbek, Ph.D.