Předmět Vybrané aplikace algebry a geometrie (KMA / APALG)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / APALG - Vybrané aplikace algebry a geometrie, Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita v Ostravě (OU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1. Lineární formy na vektorovém prostoru. Algebraický duál vektorového prostoru.2. Tenzorový součin lineárních forem, bilineární formy, symetrické a antisymetrické bilineární formy.3. Multilineární formy a tenzory. Operace s tenzory. Vektorový prostor tenzorů. Transformace složek tenzorů.4. Metrický tenzor (skalární součin) na vektorovém prostoru. Unitární prostory. Příklady unitárních prostorů. Euklidovské prostory.5. Izomorfismy tenzorových prostorů a prostorů se skalárním součinem. Zvedání a snižování indexů. Příklady.6. Zúžení metrického tenzoru na plochu v Euklidovském prostoru. První a druhá fundamentální forma plochy.7. Použití tenzorů v klasické fyzice a ve speciální teorii relativity. Lorentzova transformace, Minkowského metrika, Minkowského prostoročas. Čtyřvektorové a čtyřtenzorové veličiny.8. Tenzorová pole na varietách, operace s tenzorovými poli.9. Riemannova metrika, Levi-Civitova konexe, Riemannův tenzor10. Tenzorová pole v obecné teorii relativity, Einsteinovy rovnice11. Tenzorová pole v teorii pružnosti a v hydrodynamice.12. Lineární konexe, tenzor křivosti13. Geodetiky, příklady geodetik na varietách14. Metrizovatelnost lineární konexe, geodetiky jako extremály kinetické energie

Získané způsobilosti

- seznámí se s lineárními formami na vektorovém prostoru- ovládá tenzorový součin lineárních forem, - umí pracovat s bilineárními formami, dokáže je rozkladat na symetrickou a antisymetrickou část. - schopnost pracovat s multilineárními formami a tenzory, ovládá operace s tenzory, dokáže transformovat složky tenzorů. - pochopí význam metrického tenzoru na vektorovém prostoru a umí jej využívat při řešení metrických úloh- seznámí se příklady unitárních prostorů. - uvědomí si důležité izomorfismy tenzorových prostorů a prostorů se skalárním součinem a dokáže je využívat např. při zvedání a snižování indexů- pochopí význam první a druhé fundamentální formy plochy a dokáže zkonstruovat tyto formy pro konkrétní zadané polchy- seznámí se s použitím tenzorů v klasické fyzice a ve speciální teorii relativity. - seznámí se s tenzorovými poli na varietách, ovládá operace s tenzorovými poli- seznámí se s pojmy Riemannova metrika, Levi-Civitova konexe, Riemannův tenzor a dokáže s těmito pojmy pracovat v souřadnicích na korétních varietách- seznámi se s matematickými základy obecné teorie relativity, s tenzorová poli v obecné teorii relativity, s Einsteinovými rovnicemi- seznámí se s tenzorovými poli v teorii pružnosti a v hydrodynamice - seznámí se s pojmem paralelní přenos vektoru, s pojmem lineární konexe, s tenzorem křivosti- seznámí se s pojmem geodetiky, s příklady geodetik na varietách,- uvědomění si souvislosti s variačním počtem- geodetiky jako extremály kinetické energie

Literatura

R. Halmos. Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer, 1987. Krupka, D., Musilová J. Lineární a multilineární algebra. SPN, Praha, 1995. Kowalski, O. Úvod do Riemannovy geometrie. Univerzita Karlova, Praha, 1995. Lang, S. Fundamentals of Differential Geometry. Spinger, 1999. Krupka, D. Matematické základy obecné teorie relativity. učební text UJEP, Brno, 1979.

Požadavky

V průběhu semestru musí student absolvovat 1 písemku (asi v 2/3 semestru), ze které musí získat min. 60% bodů, které se nezapočítávají do celkového hodnocení.Zkouška se skládá z písemky a ústního pohovoru. Písemka bude hodnocena formou bodovaní. Maximalní počet bodů je 100. Předmětem ústního pohovoru je seznámení s výsledkem písemné části a v případě nerozhodné známky bude student ještě přezkoušen.Hodnocení probíhá v souladu s ustanoveními článku 31 až 33 Studijního a zkušebního řádu OU.

Garant

prof. RNDr. Olga Rossi, DrSc.

Vyučující

prof. RNDr. Olga Rossi, DrSc.RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D.RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D.