Předmět Úvod do funkcionální analýzy (KMA / FUANA)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / FUANA - Úvod do funkcionální analýzy, Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita v Ostravě (OU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1. Normovaný lineární prostor, prostor se skalárním součinem, Banachův prostor, Hilbertův prostor.2. Základní funkcionální prostory.3. Spojitá lineární zobrazení. Norma spojitého lineárního zobrazení. Algebraický a topologický duál, vztah mezi nimi. Rozdíly mezi prostory konečné a nekonečné dimenze.4. Algebraická a analytická verze Hahnovy-Banachovy věty. Věta o tečně.5. Kanonické vnoření a jeho vlastnosti. Reflexivní prostory.6. Princip stejnoměrné omezenosti. Banachova-Steinhausova věta. Omezenost slabě konvergentních posloupností.7. Otevřené zobrazení. Banachova věta o otevřeném zobrazení. Věta o inverzním zobrazení. Uzavřené zobrazení, vztah mezi zobrazeními uzavřenými a spojitými.8. Věta o uzavřeném grafu. Topologický doplněk.9. Slabé konvergence. Slabé* konvergence na duálu. Eberleinova-Šmuljanova charakteristika reflexivity.10. Promítání v Hilbertových prostorech. Problém promítání v Banachově prostoru. Charakteristika nejlepší aproximace pomocí ortogonality.11. Vlastnosti ortogonální projekce. Věta o ortogonálním rozkladu. Fréchetova-Rieszova věta o reprezentaci a její důsledky.12. Základy spektrální teorie kompaktních operátorů.

Získané způsobilosti

zná základní funkcionální prostorycháp spojitosti lineárního zobrazení, jeho normy a omezenostimá dovednosti spočítat normu omezeného lineárního zobrazeníchápe rozdíly mezi algebraickým a topologickým duálemzná popisu topologických duálů základních funkcionálních prostorůzná základní varianty (algebraické, analytické) Hahnovy-Banachovy věty a jejích důsledkůdovednost použít Hahnovu-Banachovu věty např. při odvozování vlastností kanonického vnoření, při formulaci duálního vyjádření normy, jednoznačnosti limity slabě konvergentní posloupnosti apod.zná věty o otevřeném zobrazení a jejích důsledků: věty o inverzním zobrazení a věty o uzavřeném grafudovednost použít větu o otevřeném zobrazení nebo její důsledky např. v nekonečněrozměrných optimalizačních úloháchznalost principu stejnoměrné omezenosti a jeho důsledkůzná věty o promítání v Hilbertových prostorech a jejích důsledků, např. existence topologických doplňků v Hilbertových prostorech, popis duálu Hilbertova prostorudovednost použít větu o promítání např. při aproximaci funkcí

Literatura

Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications. [s.l.]: Wiley, 1989. ISBN 0-471-50459-9.Lukeš, J. Úvod do funkcionální analýzy. Praha: Karolinum, 2005. ISBN 80-246-0969-X.Lukeš, J. Zápisky z funkcionální analýzy. Praha: Karolinum, 1998. ISBN 80-7184-597-3.Drábek, P. -- Kufner, A. Funkcionální analýza. Plzeň: ZČU, 1994. ISBN 80-7082-145-0.Fučík, S. -- Milota, J. Matematická analýza II: Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: SPN, 1980. Naylor, A. W. -- Sell, G. R. Teória lineárnych operátorov v technických a prírodných vedách. Bratislava: Alfa, 1981. Drábek, P. -- Kufner, A. Úvod do funkcionální analýzy. Plzeň: ZČU, 1993. ISBN 80-7082-124-8.Conway, J. B. A Course in Functional Analysis. New York: Springer, 1990. ISBN 0-387-97245-5.Kolmogorv A., Fomin S. Elements of Theory of Functions and Functional. Mišík, L. Funkcionálna analýza. Bratislava: Alfa, 1989. ISBN 80-05-00117-7.Najzar, K. Funkcionální analýza. Praha: SPN, 1988. Motl, L. -- Zahradník, M. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2002. ISBN 80-246-0421-3.Stará, J. Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza. Praha: SPN, 1975. Birman M.S., Solomyak M.Z. Spectral Theory of Self-Adjoint Operators in. Taylor, A. E. Úvod do funkcionální analýzy. Praha: Academia, 1973.

Požadavky

Hodnocení předmětu včetně klasifikace v případě zkoušky probíhá v souladu s čl. 32 a čl. 33 Studijního a zkušebního řádu OU.

Garant

doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.

Vyučující

Mgr. Diana Barseghyan, PhD.doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.Mgr. Diana Barseghyan, PhD.doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.