Předmět Parciální diferenciální rovnice 2 (KMA / PDIF2)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / PDIF2 - Parciální diferenciální rovnice 2, Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita v Ostravě (OU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1. Klasifikace lineárních PDR 2. řádu: rovnice eliptické, hyperbolické, parabolické a jejich kanonické tvary, rovnice ultrahyperbolické a parabolické v širším smyslu.2. Poissonova a Laplaceova rovnice a potenciály: fyzikální význam Laplaceovy a Poissonovy rovnice, fundamentální řešení Laplaceovy rovnice pro nezávislých proměnných, vlastnosti fundamentálního řešení, objemový potenciál a potenciál jednoduché vrstvy v R^N , potenciál dvojvrstvy v R^N, potenciály v R^N3. Greenovy formule: první a druhá Greenova formule, zorný úhel a singulární Greenova formule. 4. Aplikace singulární Greenova formule: věta o třech potenciálech v R^N,věta o ekvivalentnosti potenciálů, věta o třech potenciálech v R^N5. Harmonické funkce a jejich vlastnosti : teorém o Dirichletově integrálu a jeho důsledky, Gaussův integrální teorém a teorémy o integrálním povrchovém a integrálním objemovém průměru, princip maxima pro harmonické funkce.6. Okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici: řešení okrajových úloh pomocí Greenových funkcí, Greenova funkce pro kouli a Poissonova formule, Greenova funkce pro kruh a Poissonův vzorec pro kruh, Dirichletova okrajová úloha pro Laplaceovu rovnici na poloprostoru, řešení okrajových úloh pomocí potenciálů.7. Rovnice vedení tepla v tyči (jednorozměrná rovnice vedení tepla): tepelná bilance pro krátký úsek tyče, integrální tvar termodynamických veličin, konstituční vztahy, odvození diferenciální rovnice pro rovnici vedení tepla v tyči, okrajové a počáteční podmínky pro vedení tepla v tyči, formulace základních úloh pro jednorozměrné vedení tepla v tyči :Cauchyho počáteční úloha, počáteční okrajové úlohy, stacionární okrajové úlohy.8. Odvození diferenciální rovnice pro vedení tepla v tělese (třírozměrné rovnice vedení tepla) : analýza tepelného toku v tělese, závislost tepelného toku na teplotě, izotropní a anizotropní materiály, okrajové a počáteční podmínky pro rovnici vedení tepla v tělese, formulace základních úloh pro vedení tepla v tělese.9. Cauchyho počáteční úloha pro vedení tepla v nekonečné tyči: partikulární řešení v separovaném tvaru, fundamentální řešení jednorozměrné rovnice vedeni tepla pomocí principu superpozice v integrálním tvaru, teorém o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyho počáteční úlohy pro jednorozměrné vedení tepla, vlastnosti Cauchyho počáteční úlohy pro jednorozměrné vedení tepla: linearita, izometrie, spojitá závislost řešení na počáteční podmínce,ohraničenost řešení.10. Fourierova metoda řad na řešení počátečních okrajových úloh pro rovnicivedení tepla. Metoda Fourierovy transformace na řešení počátečních úloh pro rovnici vedení tepla: Fourierova transformace pro jednorozměrnou rovnici vedení tepla v nekonečné tyči, Fourierova transformace pro vícerozměrnou rovnici vedení tepla v neohraničeném prostoru.11. Hyperbolické PDR. Jednorozměrná vlnová rovnice : odvození rovnice kmitání struny, počáteční a okrajové podmínky, formulace základních úloh. Třírozměrná skalární vlnová rovnice :dvození rovnice akustiky. Třírozměrná vektorová vlnová rovnice : rovnice elektromagnetické vlny. Jednorozměrná vlnová rovnice s členem nižšího řádu: telegrafní rovnice.12. Metoda charakteristik pro řešení vlnových rovnic: jednorozměrná vlnová rovnice na přímce, polopřímce a úsečce, dvourozměrná vlnová rovnice pro neohraničenou membránu, Poissonův vzorec, třírozměrná vlnová rovnice na neohraničeném prostoru,

Získané způsobilosti

Rozvíjí schopnost klasifikovat lineární PDR 2. řádu pro dvě i více nezávislých proměnných"Je způsobilý transformovat lineární PDR 2. řádu pro dvě proměnné a převádět je na kanonický tvar ""Rozvíjí schopnost dalšího zjedodušování kanonického tvaru LPDR 2. řádu pro dvě proměnné a určování obecného řešení"seznamuje s odvozením základních rovnic matematické fyziky jakožto základních prototypů jednotlivých typů LPDR 2. řáduseznamuje se s formulací základních úloh: počátečních, okrajových a počátečně okrajových úloh pro vybrané rovnice matematické fyzikyznalý metod výpočtu základních úloh (transformace proměnných, separace proměnných, metoda superpozice, Fourierova metoda řad, metoda integrální transformace, metoda Greenových funkcí)seznamuje s harmonickými funkcemi a jejich vlstnostmi chápe princip maxima, jeho důsledky a použití je znalý základní vlastností a odlišností řešení jednotlivých typů LPDR 2. Řáduje schopný studia a orientace v odpovídající odborné literatuřekompetence - komunikativní, studijní

Literatura

J. Franců. Parciální diferenciální rovnice. učební text VUT, Akademické nakladatelství Cerm, Brno, 2003. V. I. Averbuch. Partial Differential Equations. učební text MU Slezské univerzity v Opavě, 1994. L. C. Evans. Partial Differential equations. University of Berkeley, 1994, Amer. Soc. Providence, 1998. A. N. Tichonov, A. A. Samarskij. Rovnice matematické fyziky. ČSAV, Praha, 1955. Y. Pinchover, J. Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005. T. Myint-U, L. Debnath. Linear Partial Differential Equations (Chapter 12). Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, 2007. ISBN 0-8176-4393-1.O. John, J. Nečas. Rovnice matematické fyziky. skriptum MFF, UK, Praha, 1977.

Požadavky

Předpoklad konání zkoušky: Získat alespoň 60% ze součtu maxim na kontrolních písemkách v průběhu semestru nebo alespoň 60% z maximálního počtu bodů na opravné písemce.Zkouška: Skládá se z písemné části a ústního pohovoru. Písemka je sestavena z příkladů standardní nebo mírně nadstandardní náročnosti, na kterých student prokazuje znalosti základních metod řešení parciálních diferenciálních rovnic a řešení vybraných problémů matematické fyziky. Hodnocení písemné části: Známka z písemné zkoušky je vypočítána jako aritmetický průměr dílčích známek z jednotlivých příkladů. Předmětem ústního pohovoru je seznámení s výsledkem písemné části a v případě nerozhodné známky nebo v případě usilování studenta o lepší známku je pak student ještě přezkoušen.Hodnocení probíhá v souladu s ustanoveními článku 31 až 33 Studijního a zkušebního řádu OU.

Garant

RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D.

Vyučující

RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D.RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D.