Předmět Kurs konvexity (KMA / QKKON)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / QKKON - Kurs konvexity, Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita v Ostravě (OU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1. Konvexita bez dimenze. Barycentrické souřadnice, afinní obal, konvexní množiny, vlastnosti. Konvexní obal, absolutně konvexní obal, symetrické množiny. Kužel. Absorbující množiny a jejich vlastnosti. Oddělitelnost konvexních množin.2. Konvexní množiny v Rn. Hellyho věta. Radonova věta. Carathéodoryho věta. Konvexní obaly kompaktních množin, oddělitelnost, opěrné nadroviny, vrcholy, Kreinova-Milmanova věta. Kirchbergerova věta. Hvězdovité množiny. Vnitřek konvexní množiny a jeho vlastnosti. Zaoblení množiny, Hausdorffova metrika, úplnost prostoru kompaktních množin a prostoru kompaktních konvexních množin, limity těchto množin. Konvexní těleso. Aproximace funkcí.3. Konvexní funkce (jedné reálné proměnné). Definice a další charakteristiky. Diferencovatelnost zleva a zprava, spojitost. Striktně konvexní funkce. Jensenova nerovnost. Aritmetický a geometrický průměr, Bernoulliho nerovnost. Další vlastnosti derivací konvexní funkce. Logaritmicky konvexní funkce.4. Některé klasické problémy v rovině. Isoperimetrický problém. Reuleauxův trojúhelník a jeho vlastnosti.5. Konvexní množiny. Další vlastnosti a aplikace. Eulerova charakteristika. Lineární transformace konvexních množin.6. Stěny a vrcholy konvexních množin. Další vlastnosti. Vrcholy polyedru. Birkhofův polytop, permutační polytop, polyedr dopravní úlohy. Konvexní kužely. Momentová křivka a kužel. Aplikace při numerické integraci. Kužel nezáporných polynomů a positivních semidefinitních matic, aplikace. Uzavřené konvexní množiny.7. Konvexní množiny v topologických vektorových prostorech. Věty o oddělitelnosti v euklidovském prostoru. Topologické vektorové prostory, nadroviny. Věty o oddělitelnosti v topologických vektorových prostorech. Kreinova-Milmanova věta. Polyedry v prostoru "L-nekonečno". Aplikace (úloha lineárního optimálního řízení atd.).8. Polarita, dualita, lineární programování. Polarita v euklidovském prostoru a aplikace (určení bodů v momentovém kuželu). Dualita vektorových prostorů. Dualita topologických vektorových prostorů. Vektorové prostory uspořádané kuželem. Úlohy lineárního programování, nulová mezera v dualitě. Polyedrické lineární programování, dopravní úloha. Semidefinitní programování. Lineární programování v prostoru "L-nekonečno". Stejnoměrná aproximace jako úloha lineárního programování. Úloha dopravy hmot.9. Konvexní tělesa a elipsoidy. Elipsoidy, elipsoid maximálního objemu obsažený v konvexním tělese. Normy a jejich aproximace. Elipsoidová metoda. Gaussova míra na euklidovském prostoru, aproximace matic malé hodnosti. Míra a metrika na jednotkové sféře.

Literatura

Barvinok, A. A Course in Convexity. Providence: American Mathematical Society, 2002. Kosmák, L. Konvexita. Praha: Academia, 1992. ISBN 80-200-0330-4.Rockafellar, R. T. Convex Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1970. ISBN 0-691-08069-0.Niculescu, C. P.; Persson L.-E. Convex Functions and Their Applications: A Contemporary Approach. Springer, 2006. ISBN 0-387-24300-3.Webster, R. Convexity. Oxford: Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8.

Požadavky

samostudium, konzultace

Garant

doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.