Předmět Algebra 3 -Algebra a analyt. geometrie 2 (KMA / SLAG2)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / SLAG2 - Algebra 3 -Algebra a analyt. geometrie 2, Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita v Ostravě (OU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1. Lineární formy na vektorovém prostoru (nad R), duální prostor, dimenze, duální báze, příklady lineárních forem.2. Bilineární formy na vektorovém prostoru (nad R), vektorový prostor bilineárních forem, reprezentace bilineární formy v bázi, transformační vztahy, symetrické a antisymetrické bilineární formy, rozklad prostoru bilineárních forem, souvislost s maticemi, se symetrickými operátory, příklad skalární součin na vektorovém prostoru.3. Vektorové prostory se skalárním součinem: skalární součin na reálném a komplexním vektorovém prostoru, vlastnosti, matice skalárního součinu, transformační vztahy, ortogonální a ortonormální vektory, Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces.4. Norma a metrika indukovaná skalárním součinem; ortogonální doplněk podprostoru, ortogonální průmět vektoru na podprostor, odchylka vektorů, odchylka vektoru od podprostoru.5. Ortogonální transformace a jejich geometrický význam, symetrické operátory; problém vlastních hodnot, kanonický tvar matice ortogonálního a symetrického operátoru.6. Kvadratické formy, hodnost, signatura, reprezentace v bázi, transformační vztahy, kanonický tvar, Sylvestrova věta (Zákon setrvačnosti kvadratické formy), normální tvar.7. Kvadriky a kuželosečky. Klasifikace.8. Polynomy, operace s polynomy, Okruh polynomů, dělitelnost, největší společný dělitel, Euklidův algoritmus, kořeny polynomů, Gaussova věta (základní věta algebry), rozklad na kořenové činitele, vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomu (Vietovy vzorce).9. Polynomy s reálnými koeficienty, vlastnosti kořenů polynomů s reálnými koeficienty, rozklad na ireducibilní komponenty nad C a nad R; parciální zlomky a jejich využití.10. Metody hledání kořenů polynomů - kvadratické rovnice, kubické rovnice, Cardanovy vzorce, binomické rovnice, trinomické rovnice, reciproké rovnice, racionální kořeny polynomů s celočíselnými koeficienty, problematika násobných kořenů.

Získané způsobilosti

zná a chápe pojem lineární formy na vektorovém prostoruzná a chápe základní pojmy bilineární a kvadratická formadokáže s formami pracovatzná a chápe vektorové prostory se skalárním součinem a orientuje se v nichzná a chápe základní pojmy norma, metrikazná a chápe ortogonální transformace a aplikuje znalosti v práci s nimazná a chápe základní pojmy kvadriky a kuželosečky a dokáže je klasifikovatzná a chápe polynomy a dokáže s nima pracovatje schopen studia a orientace v odpovídající odborné literatuřeaplikuje výše uvedené na konkrétních příkladech

Literatura

Ladislav Bican. Lineární algebra a geometrie. Academia, Praha, 2000. Saunders Mac Lane and Garrett Birkhoff. Algebra. ALFA, Bratislava, 1972. Halmos, P. R. Linear Algebra Problem Book. Cambridge University Press, 1995. ISBN 0883853221.Krupka, D., Musilová, J. Lineární a multilineární algebra. SPN, Praha, 1989. Ladislav Bican. Lineární algebra. SNTL, Praha, 1979.

Požadavky

Písemná zkouška. Hodnocení probíhá v souladu s ustanoveními článku 31 až 33 Studijního a zkušebního řádu OU.

Garant

prof. RNDr. Olga Rossi, DrSc.

Vyučující

prof. RNDr. Olga Rossi, DrSc.RNDr. Zuzana Václavíková, Ph.D.Mgr. Jan HulaRNDr. Zuzana Václavíková, Ph.D.