Předmět Variační počet 2 (KMA / VPOX2)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / VPOX2 - Variační počet 2, Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita v Ostravě (OU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1. Vektorová pole: hladká varieta, tečný prostor; vektorové pole, integrální křivka, lokální tok, lokální jednoparametrická grupa transformací.2. Diferenciální formy: diferenciální k-forma, operace s formami - součet forem, násobek formy funkcí, vnější součin, kontrakce vektorovým polem, vnější derivace, Lieova derivace.3. Uzavřené formy, Poincaréovo lemma.4. Fibrované variety: fibrovaná varieta, řez fibrované variety, prodloužení řezu, prodloužení fibrované variety.5. Projektabilní vektorová pole a jejich prodloužení; horizontální a kontaktní formy, kanonický rozklad diferenciální formy na kontaktní komponenty.6. Invariantní první variační formule: Lagrangián, Cartanova forma, Eulerova-Lagrangeova forma; variace řezu fibrované variety, první variační formule. 7. Holonomně vázané variační problémy: holonomní vazba, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice pro Lagrangiány prvního a vyššího řádu na holonomní vazbě; vyšší variace.8. Invariantní variační problémy: transformace invariance Lagrangiánu, symetrie Lagrangiánu, rovnice Noetherové, Teorém Noetherové.9. Příklady grup transformací a zákonů zachování: Euklidova grupa, Galileiho grupa, Poincaréova grupa; invariantní Lagrangiány; zákon zachování energie, zákon zachování hybnosti (impulzu), zákon zachování momentu hybnosti.10. Jádro Eulerova-Lagrangeova zobrazení: Eulerova-Lagrangeova forma, Eulerovo-Lagrangeovo zobrazení, triviální Lagrangiány.11. Obraz Eulerova-Lagrangeova zobrazení: dynamická forma, lokálně a globálně variační formy, inverzní variační problém (lokální a globální), vztah variačnosti a uzavřenosti.12. Podmínky variačnosti pro diferenciální rovnice: Helmholtzovy podmínky a jejich zobecnění pro parciální rovnice a rovnice vyššího řádu), Tontiho Lagrangián, minimální Lagrangiány; příklady použití Helmholtzových podmínek.

Získané způsobilosti

zná základní matematické struktury pro variační počet na neeuklidovských prostorechzná metody diferenciálního počtu na hladkých varietáchzná základní pojmy variačnícho počtu pro křivky a vícerozměrné polchy na varietách rozvíjí schopnot aplikace na řešení variačních úloh s holonomními vazbamizná metody zákonů zachování pro variační rovnice, schopnost aplikacízná inverzní variační problém a jeho aplikacítískává schopnost studia a orientace v příslušné odborné literatuřeorientace v oblasti variačních problémů vznikajících ve fyzice a technice

Literatura

O. Krupková. Variační počet na varietách. distanční učební text OU, Ostrava, 2006. M. Giaquinta, S. Hildebrandt. Calculus of Variations, I, II. Springer, Berlin, 1997. Ekeland, I., Temam, R. Convex Analysis Variational Problems. North-Holland,Amsterdam, 1976. O. Krupková. The Geometry of Ordinary Variational Equations. Springer, Berlin, 1997. J. Jost, X. Li-Jost. Calculus of Variations. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1982. M.L. Krasnov, G.I. Makarenko, A.I. Kiselev. Problems and Excercises in the Calculus of Variations. Mir, Moscow, 1975; 2nd printing, 1984. D. Krupka. Úvod do analýzy na varietách. Masarykova univerzita, Brno, 1990. I. Kolář. Úvod do globální analýzy. skriptum MU, Brno, 2004.

Požadavky

Úspěšné absolvování cvičení, zkouška písemná.Hodnocení probíhá v souladu s ustanoveními článku 31 až 33 Studijního a zkušebního řádu OU.

Garant

prof. RNDr. Olga Rossi, DrSc.

Vyučující

prof. RNDr. Olga Rossi, DrSc.RNDr. Radka Malíková, Ph.D.