Předmět Obyčejné diferenciální rovnice (KMA / XOBDR)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / XOBDR - Obyčejné diferenciální rovnice, Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita v Ostravě (OU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1. Vymezení pojmu diferenciální rovnicespecifikace 1: obyčejné a parciální diferenciální rovnice, specifikace 2: standardní systémy ODR, specifikace 3: jedna ODR 1. řádu pro jednu neznámou funkci. ODR r-tého řádu pro jednu neznámou funkci, řád a stupeň ODR. Systém ODR 1. řádu v normálním tvaru. Příklady diferenciálních rovnic různého typu.2. Diferenciální rovnice 1. řádu obecné (implicitní) a rozřešené vzhledem k derivaci. Definiční obor diferenciální rovnice 1. řádu. Pojem řešení ODR 1. řádu, zúžení a prodloužení řešení. Pojem obecného a partikulárního řešení. Pojem singulárního řešení ODR 1. řádu. Formy řešení, integrovatelnost pomocí elementárních funkcí. Závislost řešení na integračních konstantách. Obyčejné diferenciální rovnice a parametrické systémy křivek.3. Cauchyho počáteční úloha pro ODR 1. řádu, věta o existence a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy, řešení počáteční úlohy ODR 1. řádu pomocí Piccardových aproximací.4. Geometrická interpretace ODR 1. řádu: lineární element, směrové pole, izokliny, integrální křivky.5. Základní typy ODR 1. řádu a metody jejich řešení, další typy ODR 1. řádu: Ricattiova rovnice, exaktní diferenciální rovnice, diferenciální rovnice reducibilní na exaktni (integrační faktor).6. Impicitní diferenciální rovnice 1. řádu: singulární řešení, Lagrangeova rovnice, Clairautova rovnice. Klasifikace ODR 1.řádu.7. Diferenciální rovnice vyšších řádů: některé základní typy rovnic vyššího řádu, snížení řádu diferenciální rovnice užitím prvních integrálů nebo užitím substitucí.8. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Existence řešení homogenní a nehomogenní rovnice. Výpočet řešení homogenní rovnice n-tého řádu: charakteristická rovnice. Výpočet nehomogenní rovnice n-tého řádu : metoda variace konstant, metoda neurčitých koeficientů pro nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou. Eulerova diferenciální rovnice n-tého řádu.9. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Systémy ODR v normálním tvaru (autonomní systémy). Geometrická interpretace řešení autonomního systému.10. Existence a jednoznačnost řešení autonomního systému ODR. Metody řešení systémů ODR: eliminační metoda, první integrály.11. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, homogenní, nehomogenní. Metody řešení homogenních soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty : Eulerova metoda, eliminační metoda.12. Metody řešení nehomogenních soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty : metoda variace konstant.

Získané způsobilosti

zná základní pojmy a problémy z teorie ODR umí klasifikovat ODR a rozpoznat typ ODRteoretické znalosti základních typů ODR 1. řádu, metod jejich integrace a vlastnosti jejich řešeníje způsobilý řešit různé konkrétní typy ODR 1. řádu základními metodami (separace proměnných, substituce, variace konstanty, integrační faktor, zavádění parametrů, derivování)rozvíjí schopnost geometricky interpretovat základní typy ODR 1. řádu pomocí směrového pole, izoklin a analyzovat průběh integrálních křivekchápe větu o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyho počáteční úlohy pro jednu ODR a uvědomění se jejich předpokladů (Lipschitzova podmínka)rozvíjí schopnost algoritmicky řešit konkrétní Cauchyho počáteční úlohy pomocí Piccardových aproximacízískává schopnost řešit homogenní i nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého a vyšších řádů s konstantními koeficienty (stanovení fundamentálního systému homogenní rovnice pomocí charakteristické rovnice, určení partikulárního řešení nehomogenní rovnice pomocí variace konstant nebo metodou neurčitých koeficientů v případě speciální pravé strany) získává schopnost aplikovat lineární diferenciální rovnice (LDR) jako modely vybraných reálných procesů, schopnost ze známých vlastností řešení LDR odhadnout vývoj modeluteoretické znalosti vybraných typů nelineárních ODR vyššího řádu, metod redukce jejich řádu příp. metod jejich integracerozvíjí způsobilost redukovat řád u některých konkrétních vybraných typů nelineárních ODR druhého a vyšších řádů pomocí substituce a prvních integrálůseznámení se s obecnými soustavami ODR, soustavy ODR rozřešené vzhledem k nejvyšším derivacím, princip převodu soustavy ODR na soustavu ODR 1. řádu chápe větu o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyho počáteční úlohy pro soustavu ODR 1. Řáduzískává schopnost řešit homogenní i nehomogenní soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty (stanovení fundamentálního systému homogenní soustavy pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů matice soustavy, určení partikulárního řešení nehomogenní soustavy pomocí variace konstant nebo metodou neurčitých koeficientů v případě speciální pravé strany) rozvíjí schopnost studia a orientace v odpovídající odborné literatuřekompetence - komunikativní, studijní

Literatura

D. G. Zill. A First Course in Differential Equations with Applications. C. H. Edwards, D. E. Penney. Elementary Differential Equations with Applications. M.Ráb. Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MU, Brno, 1998. J. Kalas, M. Ráb. Obyčejné diferenciální rovnice. učebnice MU, Brno, 1995. R.Plch. Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. MU, Brno, 1995. D.Hrivňák. Úvod do vyšší matematiky III. distanční učební text OU, Ostrava, 2002. M.Greguš, M. Švec, V. Šeda. Obyčajné digerenciálne rovnice. Alfa-SNTL, Bratislava-Praha, 1985. J. Kurzweil. Obyčejné diferenciální rovnice. SNTL, Praha, 1978. Z. Boháč, N. Častová, A. Dlabajová. Cvičení z matematiky III. skriptum VŠB, Ostrava, 1993. J. A. Tierney. Differential Equations. Allyn and Bacon, Inc., Boston, London, Sydney, Toronto, 1985. E. Ošťádalová, D. Píšová. MatematikaIII. skriptum VŠB, Ostrava, 1993. M. Tenenbaum, H. Pollard. Ordinary Differential Equations. A. F. Filippov. Sbornik zadač po differenciaľnym uravnenijam. Nauka, Moskva, 1965.

Požadavky

Podmínkou připuštění ke zkoušce je vypracování a odevzdání korespondenčních úkolů. Korespondenční úkoly budou odevzdávány v průběhu semestru v termínech tutorialů, nejpozději však týden před konáním zkoušky.Zkouška se skládá z písemky a ústního pohovoru. Písemka bude hodnocena formou bodovaní. Maximalní počet bodů je 100. Hodnocení probíhá v souladu s ustanoveními článku 31 až 33 Studijního a zkušebního řádu OU.Student může problematiku konzultovat elektronicky nebo v pravidelných konzultačních hodinách (2 hod. týdně) nebo prezenčně v rámci tutoriálů konaných během semestru.

Garant

RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D.

Vyučující

RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D.RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D.