Rovina a její analytické vyjádření

42.

Rovina a její analytické vyjádření

Parametrická rovnice roviny:

X = A + t u + s w t, s∈ R

vyjádření roviny A, B, C; kde B =A + u; C = A + v

Rovina může být v prostoru určena:

1. třemi různými body, které neleží v přímce

2. dvěma různoběžkami

3. dvěma různými rovnoběžkami

4. přímkou a bodem B, který na ní neleží

Všechny tyto případy lze převést na určení roviny bodem A [a1, a2, a3] a dvěma nenulovými různoběžnými vektory u (u1, u2, u3), v (v1, v2, v3). Tak dostaneme parametrickou rovnici roviny:

ρ: x = a1 + t.u1 + s.v1

y = a2 + t.u2 + s.v2 t, s ∈ R jsou parametry

z = a3 + t.u3 + s.v3

Obecná rovnice roviny:

ax + by + cz + d = 0, kde alespoň jeden z koeficientů a, b, c je různý od nuly a vektor n (a, b, c) je normálový vektor roviny, se nazývá obecná rovnice roviny

Co je v obecné rovnici rovno nule (a, b, c, d) s tím je rovnoběžná rovina.

Vzájemná poloha přímky a roviny:

v. n = 0 - na sebe kolmé

1) rovina a přímka jsou rovnoběžné – nemají-li žádný společný bod

2) přímka leží v rovině

3) přímka je k rovině různoběžná

Vzájemná poloha dvou rovin:

1. jsou totožné, když rovnice jedné je násobkem druhé; normálový vektor z nich je násobkem normálového vektoru druhé roviny. Společný průnik má nekonečně mnoho bodů

2. jsou rovnoběžné

3. mají společnou přímku – průsečnice

4. při průniku těchto polorovin dostaneme vrstvu; vzdálenost dvou rovin se nazývá tloušťkou nebo šířkou vrstvy

5. průsečíků těchto polorovin se říká klín, hraniční roviny jsou stěny hrany