Vektory v rovině a prostoru

40.

Vektory v rovině a prostoru

Vektorem nazýváme množinu všech souhlasně orientovaných úseček téže velikosti.

Množina všech orientovaných úseček, u nichž splývá počáteční bod s koncovým se nazývá nulový vektor.

Velikost vektoru AB je dána velikostí orientované úsečky AB. Označují se AB.

Vektory kolineární – lze umístit na vzájemně rovnoběžných přímkách a platí: v=c.u

Vektory komplanární – lze umístit ve vzájemné rovnoběžných rovnicích, platí: v=c.v+d.w

Uspořádanou dvojici (trojici) reálných čísel u=(u1, u2) [u=(u1, u2, u3)] nazýváme 2(3)-členný aritmetický vektor.

Množina všech uspořádaných dvojic (trojic) reálných čísel tvoří aritmetický vektorový prostor dimenze 2(3).

Ortonolmální soustava souřadic (kolmá soustava)

pravotočivá levotočivá

Př. (a,c,b) – levotočivá (c,a,b) – pravotočivá

(b,a,c) – levotočivá (c,b,a) - levotočivá

(b,c,a) – pravotočivá

Rovnost vektorů: v(v1, v2, v3) u(u1, u2, u3); v1=u1 v2=u2 v3=u3

Operace s vektory:

sčítání: u + v = (u1 + v1; u2 + v2; u3 + v3)

rozdíl: u – v = (u1 - v1; u2 – v2; u3 - v3)

násobení reálným číslem c: u.c = (u1.c; u2.c; u3.c)

skalární součin: u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3 - číslo

velikost vektoru: u =

úhel dvou vektorů (odchylka): cos ϕ = ; s = u.v.cos ϕ

Př. určete skalární součin v = (1, 2, 3) u = (-1, 4, -2)

v.u = -1+8-6 = 1

Skalární součin dvou nenulových vektorů je roven O, pak jsou vektory vzájemně kolmé (cos 90°= 0)

Vektorový součin je definován jen v trojrozměrném prostoru a výše, jako vektor, který je kolmý k oběma daným vektorům, má velikost určenou součinem uxv.sin ϕ a orientaci v pravotočivém ortonormálním systému určenou pravidlem pravé ruky. Tzn: výsledek je vektor, je v 3 rozměrném prostoru a je kolmý k oběma dalším.

a x b = (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1)

a a2 a3 a1 a2 b b2 b3 b1 b2 a x b (a2b3–a3b2)(a3b1–b3a1)(a1b2–b1a2)

Př. Najděte alespoň jeden vektor kolmý k vektorům v(6, 2, -4); u(-3, 0, 1)

u 2 -4 6 2 v 0 1 -3 0 u x v (2 – 0) (12 – 6) (0 + 6)

(2, 6, 6)

Obsah trojúhelníka: S = u x v

Obsah rovnoběžníka: S = u x v

Smíšený součin: (v x u).w - udává objem rovnoběžnostěnu, jehož hrany jsou dány vektory u a v; a w je boční hrana.

Užití vektorů: v geometrii a ve fyzice, usnadňují výpočty, výpočet délky úsečky, velikosti vektorů (vzdálenost bodů)

Užití skalárního součinu: ve fyzice W = F.s. cos α = F. s

Užití vektorového součinu: obsahy v trojrozměrném prostoru, ve fyzice Lorenzova síla

Užití smíšeného součinu: při výpočtu objemu těles