Předmět Státní doktorská zk. z GGA (MU / DGGA)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu MU / DGGA - Státní doktorská zk. z GGA, Slezská univerzita v Opavě (SU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1. Základy analýzy na varietách:Algebra hladkých funkcí. Vektorová a tenzorová pole, Lieova závorka, integrabilní distribuce. Vnější formy, integrování na varietách, Stokesova věta. Tok vektorového pole, Lieova derivace. Základy teorie Lieových grup a Lieových algeber. De Rhamovy kohomologie. Základy Riemannovy geometrie. Prostory jetů. Základy variačního počtu.2. Teorie Lieových grup a algeber:Lieovy grupy a podgrupy, Lieovy algebry, jejich ideály. Reprezentace Lieových grup a algeber, G-moduly a g-moduly, jejich souvislosti. Nilpotentní, řešitelné a polojednoduché algebry. Základy strukturní teorie jednoduchých algeber a jejich reprezentací, váhy a kořeny. Příklady v komplexním i reálném oboru, klasické série.3. Homologická algebra:Moduly, řetězcové komplexy, exaktnost, rezolventy a derivované funktory, Tor a Ext. Bikomplexy, spektrální posloupnosti. Homologie a kohomologie některých algebraických struktur.4. Algebraická topologie:Metoda algebraické topologie. Singulární homologie a kohomologie, buněčné komplexy a jejich (ko)homologie. Homotopie a homotopické grupy, nakrytí a univerzální nakrytí. Zobecněné homologické a kohomologické teorie, spektrální posloupnosti. Svazky, abstraktní de Rhamova věta.5. Riemannova geometrie:Diferenciální geometrie vnořené podvariety v euklidovském prostoru, základní formy a rovnice. Variety s afinní konexí, geodetiky, tenzor křivosti a torze. Riemannova metrika, metrická konexe, základní identity. Prosty konstantní křivosti. Gaussova-Bonnetova formule.6. Aplikace diferenciální geometrie v matematické fyzice:Geometrické základy obecné teorie relativity. Symplektické variety, Poissonovy variety, Hamiltonův formalismus, Liouvilleova věta, proměnné akce - úhel. Variační počet, Eulerovy--Lagrangeovy rovnice, invariance a pohybové integrály, věta Noetherové.7. Geometrická teorie diferenciálních rovnic:Prostory jetů, Cartanova distribuce, formální integrabilita. Bodové, kontaktní a vyšší symetrie, Lieova algebra symetrií. Zákony zachování, horizontální kohomologie. Nakrytí, nelokální symetrie a zákony zachování, Bäcklundovy transformace, reprezentace nulové křivosti. Operátory rekurze, Hamiltonovy struktury, úplná integrabilita.Student zvolí tři z těchto sedmi okruhů podle svého zaměření. Oborová komise může na návrh školitele uvedenou nabídku rozšířit.Součástí státní doktorské zkoušky je také obhajoba disertační práce.

Garant

Doc. RNDr. Michal MARVAN, CSc.