Předmět Aplikovaná matematika (NTI / AMA)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu NTI / AMA - Aplikovaná matematika, Fakulta mechatroniky a MIS, Technická univerzita v Liberci (TUL).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

Přednášky:1. Lineární vektorový prostor, metrický prostor, metrika.2. Normovaný prostor, norma, Banachovy prostory, prostory se skalárním součinem, skalární součin, Hilbertovy prostory.3. Formulace optimalizačních úloh v Hilbertových prostorech4. Příklady metrických a Banachových prostorů a jejich vlastnosti5. Soustava obyčejných diferenciálních rovnic a Cauchyova úloha6. Lineární soustava obyčejných diferenciálních rovnic, vlastnosti jejího řešení7. Fundamentální matice a standardní fundamentální matice8. Vlastnosti a výpočet standardní fundamentální matice9. Eulerova metoda. Obecná jednokroková metoda10. Runge-Kuttovy metody11. Okrajové úlohy, princip metody střelby12. Konstrukce diferenčních vztahů pro metodu sítí13. Metoda sítí pro okrajovou úlohu s obyčejnou diferenciální rovnicí druhého řádu14. Parciální diferenciální rovnice. Diferenciální operátory vektorové analýzy. Divergenční věta, Greenova věta.15. Odvození rovnic základních fyzikálních procesů - rovnice vedení tepla, rovnice difúze, rovnice filtračního proudění. Okrajové a počáteční podmínky.16. Ritzova metoda, Galerkinova metoda.PI+NANO, Maryška:17. Metoda nejmenších čtverců, metoda největšího spádu.18. Základní prostory hladkých funkcí, prostory integrovatelných funkcí. Lebesgueovy a Sobolevovy prostory.19. Cauchyovská posloupnost, konvergentní posloupnost, úplnost, uzavřenost, separabilita.20. Otázky volby báze pro řešení PDR, oblasti s lipschitzovskou hranicí, věta o stopách, Fridrichova a Poincaréova nerovnost.21. Slabé řešení problému pro eliptické rovnice s okrajovými podmínkami, Laxova - Milgramova věta, princip metody konečných prvků.AŘII+ME, Šembera:17. Adamsovy metody, technika prediktor-korektor18. Stiff systémy ODR: Rosenbrockova a Gearova metoda19. Numerické metody hledání extrémů funkcí, minimalizace funkce jedné proměnné (Fibonacciova metoda a metoda zlatého řezu) a Newtonova Raphsonova metoda20. Hledání extrémů funkce více proměnných bez omezení: Nelderova-Meadova metoda, gradientní metody, metoda sdružených směrů21. Hledání extrémů funkce více proměnných s omezujícími podmínkami: metody vnitřního bodu (Mehrotrův algoritmus)Cvičení1. Lineární vektorový prostor - příklady.2. Metrický prostor, metrika - příklady.3. Normovaný prostor, norma, Banachovy prostory4. Prostory se skalárním součinem, skalární součin5. opakování - obyčejné diferenciální rovnice6. opakování - obyčejné diferenciální rovnice7. ověření vlastností řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu8. ověření vlastností fundamentální matice a standardní fundamentální matice9. výpočet standardní fundamentální matice s užitím vlastních vektorů matice soustavy10. výpočet standardní fundamentální matice metodou rozvoje v mocninnou řadu11. výpočet standardní fundamentální matice Putzerovou metodou12. výpočet řešení nehomogenní lineární počáteční úlohy13. výpočet řešení nehomogenní lineární počáteční úlohy14. Jednokrokové metody pro počáteční úlohy ODR15. Jednokrokové metody pro počáteční úlohy ODR16. Jednokrokové metody pro počáteční úlohy ODRPI+NANO:17. Metoda sítí pro okrajové úlohy ODR18. Metoda sítí pro eliptické parciální diferenciální rovnice19. Metoda sítí pro parabolické parciální diferenciální rovnice20. Metoda sítí pro hyperbolické parciální diferenciální rovnice21. Zápočtová písemkaAŘII+ME:17. opakování - matice, vlastní čísla matic, singulární rozklad a singulární čísla, jejich vlastnosti, číslo podmíněnosti matice18. opakování - matice, vlastní čísla matic, singulární rozklad a singulární čísla, jejich vlastnosti, číslo podmíněnosti matice19. Vícekrokové metody pro počáteční úlohy ODR20. Minimalizace funkce jedné proměnné21. Zápočtová písemka

Získané způsobilosti

Student získá základní teoretické poznatky a praktické dovednosti z oblasti řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic a funkcionální analýzy.

Literatura

Vitásek, E. Numerické metody. Praha 1993. Míka, S.- Kufner,A. Parciální diferenciální rovnice I. Stacionární rovnice. Praha, MVŠT, SNTL 1983. Barták, J.- Herrmann, L.- Lovicar,V.- Vejvoda,O. Parciální diferenciální rovnice II. Evoluční rovnice. Praha, MVŠT, SNTL 1988. Nagy, J. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Praha, MVŠT, SNTL 1983. &, &. Rektorys, K. Variační metody. Praha 1999.

Požadavky

Podmínkou zápočtu je aktivní účast na cvičeních, úspěšné absolvování testů. Zkouška je písemná a ústní.

Garant

prof. Dr. Ing. Jiří Maryška, CSc.doc. Ing. Jan Šembera, Ph.D.

Vyučující

prof. Dr. Ing. Jiří Maryška, CSc.Mgr. Jan Stebel, Ph.D.doc. Ing. Jan Šembera, Ph.D.Ing. Ivan BruskýMgr. Jan Březina, Ph.D.prof. Dr. Ing. Jiří Maryška, CSc.Ing. Dana RosickáIng. Jakub ŘíhaIng. Vratislav Žabka