Předmět Kalkulus 1 (KAP / KA1)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KAP / KA1 - Kalkulus 1, Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická, Technická univerzita v Liberci (TUL).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

Obsahem předmětu je seznámení s nejdůležitějšími partiemi diferenciálního počtu funkcí jedné reálné proměnné a s jejich základními aplikacemi.Jazyk matematiky, naivní teorie množin, reálná a komplexní čísla, význam axiomu úplnosti (rozdíl mezi racionálními a reálnými čísly)Pojem zobrazení a jeho základní vlastnosti, zacházení se zobrazeními. Funkce a jejich popis. Základní vlastnosti funkcí a jejich speciální třídy (omezené, periodické apod.)Posloupnosti reálných čísel a jejich vlastnosti. Limita posloupnosti, existence limity omezené monotónní posloupnosti, princip vložených intervalů. Cantorova věta o vložených intervalech. Tvrzení o limitách a algebraických operacích.Reálné funkce jedné reálné proměnné, jednoduché elementární funkce.Spojitost funkce v bodě a v intervalu. Operace se spojitými funkcemi. Skládání spojitých funkcí. Prostor spojitých funkcí na intervalu. Spojitost a vztah k limitám posloupností.Nevlastní limity. Limita funkce, limity a algebraické operace, limita složené funkce.Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu, Borelova pokrývací věta. Inverzní funkce a jejich vlastnosti (monotonie, spojitost). Transcendentní elementární funkce: logaritmus, exponenciální funkce, hyperbolické funkce, goniometrické funkce. Analogie mezi goniometrickými a hyperbolickými funkcemi.Derivace funkce v bodě, vztah ke spojitosti. Derivace jakožto funkce.Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu. Vztah derivace a monotonie funkce, funkce s nulovou derivací na intervalu.Derivace inverzní funkce, funkce cyklometrické. Derivování a algebraické operace. Derivace složené funkce.Derivace vyšších řádů, konvexní a konkávní funkce, různý popis konvexity. Průběh funkce.Geometrický význam derivace, aproximace lineární funkcí, lokální aproximace funkce polynomem, Taylorův polynom, zbytek v Lagrangeově tvaru jako zobecnění věty o přírůstku funkce. Využití k výpočtu limit. L'Hospitalovo pravidlo.Využití infinitesimálního počtu ve fyzice a v geometrii. Popis rovinné křivky parametricky a rovnicí. Goniometrický tvar komplexního čísla, komplexní funkce reálné proměnné, polární souřadnice. Tečna grafu, tečna křivky.Jednoduchý případ implicitně popsané funkce, tvrzení o implicitní funkci (včetně derivace).Doplňky k derivování funkce reálné proměnné. Hledání nulových bodů funkce. Elementární numerické metody. Lokální a globální extrémy. Darbouxova vlastnost derivace spojité funkce. Derivace a primitivní funkce. Motivace pro mocninné řady.

Získané způsobilosti

Funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet.

Literatura

Bittnerová, D. - Plačková, G.:. Louskáček 1 - Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné (Sbírka úloh). Liberec, TUL 2006, 2007. Brabec, J. - Martan, F. - Rozenský, Z.:. Matematická analýza I. Praha, SNTL 1985. Veselý, J.:. Matematická analýza pro učitele, 1.díl. Praha, Matfyzpress 1997. Černý, I.:. Matematická analýza, 1.část. [Skripta TU v Liberci.] Liberec 1995. Nekvinda, M.- Vild, J.:. Matematické oříšky I. Liberec, TUL 1999, 2002, 2003. Nekvinda, M.:. Matematika I. Liberec 1997.

Požadavky

Zápočet - viz sylabus.

Garant

doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc.doc. RNDr. Jiří Veselý, CSc.

Vyučující

doc. RNDr. Jiří Veselý, CSc.RNDr. Martina Šimůnková, Ph.D.