Předmět Úvod do analýzy v komplexním oboru (KAP / UKA)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KAP / UKA - Úvod do analýzy v komplexním oboru, Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická, Technická univerzita v Liberci (TUL).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

Vznik komplexních čísel, geometrická interpretace, algebraické operace jsou rozšířením operací s reálnými čísly. Číslo i a úmluva o z = x + iy. Odčítání a dělení komplexních čísel. Reálná a imaginární část z = x + iy: Re z = x, In z = y. Číslo komplexně sdružené, absolutní hodnota komplexního čísla.Komplexní funkce reálné proměnné, rozklad na reálnou a imaginární část. Reálná funkce komplexní proměnné - příklad: absolutní hodnota. Důležitost mocninných řad. Souvislost metrických prostorů. Oblasti v C. Problém znázornění komplexních funkcí komplexní proměnné. Modifikace vět o spojitosti a limitě v C. Zavedení jednoduchých komplexních funkcí.Derivování a ekvivalentní podmínky pro existenci derivace. Derivace složené funkce. Pojem holomorfní funkce, jejich základní vlastnosti. Odvození Cauchy-Riemannových (C.-R.) podmínek. Vyjádření derivace komplexní funkce komplexní proměnné. Souvislost existence derivace funkce f s derivováním reálné a imaginární části f. Funkce identita a funkce k ní komplexně sdružená. Pojem holomorfní funkce, jejich základní vlastnosti.Funkce holomorfní na otevřené množině G v C. Algebraické operace s holomorfními funkcemi. Speciální oblasti: Hvězdovitá a konvexní množina. Primitivní funkce. Definice křivkového integrálu podél po částech regulární křivky (= dále jen křivka).Některé další vlastnosti křivkového integrálu, odhady. Primitivní funkce a výpočet křivkového integrálu. Ilustrativní příklad. Konstantní holomorfní funkce na oblasti.Vlastnosti transcendentních funkcí v komplexním oboru. Funkce periodické, sudé a liché. Zavádění exponenciály v reálném a v komplexním oboru. Funkcionální rovnice pro exponenciálu v komplexním oboru: exp (z + w) = (exp z)(exp w). Absolutní hodnota exponenciály a příbuzné vztahy. Množiny Log z a Arg z, funkce log z a arg z (hlavní větve logaritmu a argumentu).Podrobný výklad Cauchyho věty pro trojúhelník. Hvězdovitá a konvexní oblast. K holomorfní funkci na hvězdovité oblasti existuje primitivní funkce - popis užití předchozí verze Cauchyho věty.Laurentův rozvoj a jeho vlastnosti (a konvence). Riemannovo lemma o odstranitelné singularitě. Izolované singularity. Jiný náhled na singularity: Na konvergenční kružnici pro Taylorův rozvoj leží alespoň jeden singulární bod. Laurentova řada, prstenec konvergence, jednoznačnost Laurentova rozvoje funkce holomorfní v prstenci konvergence, určení "vnějšího a vnitřního" poloměru konvergence Laurentovy řady. Příprava na klasifikaci.Přírůstek spojité větve logaritmu. Definice indexu vzhledem k uzavřené křivce. Kladně orientovaná Jordanova křivka. Integrál Cauchyho typu a jeho derivace (použití rozvoje v geometrickou řadu). Vyjádření indexu integrálem. Index je konstantní funkce na komponentách doplňku křivky (náznak důkazu). Cauchyho vzorec pro kladně orientovanou kružnici a bod "uvnitř". Cauchyho vzorec pro křivku v hvězdovité oblasti G.Laurentův rozvoj funkce holomorfní v mezikruží. Cauchyho vzorec pro mezikruží. Nejdůležitějsí případ: vnitřní poloměr prstence je nulový. Izolované singularity. Chování holomorfní funkce v okolí singulárního bodu. Omezenost, možnost spojitého rozšíření, limita v bodě je rovna nekonečnu, limita neexistuje. Singularity odstranitelné, póly, podstatné singularity. Výpočet některých integrálů metodami funkcí komplexní proměnné. Odhady integrálů po křivkách, Jordanovo lemma. Dělení rozvojů, rozvoj cotg v 0. Příklady - srovnání výpočtu integrálů metodami reálné analýzy a reziduovou větou.Celé a meromorfní funkce jako zobecnění polynomů a racionálních funkcí. Věta o jednoznačnosti pro holomorfní funkce. Věta o průměru. Cauchyho odhady. Liouvilleova věta. Základní věta algebry.Casorati-Weierstrassova věta. Meromorfní funkce. Reziduum a jeho důležitost. Reziduová věta a možnost její aplikace. Některé metody výpočtu reziduí. Příklady na reziduovou větu. Užití reziduové věty. Integrace racionální funkce "v sinu a kosinu" přes speciální intervaly. Sečítání některých typů řad.

Získané způsobilosti

Zvládnutí základů analýzy v komplexním oboru.

Literatura

Černý, I. Úvod do analýzy v komplexním oboru.

Požadavky

Zápočet: vypracování semestrální práce.Zkouška: písemná.

Garant

doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc.

Vyučující

doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc.doc. RNDr. Miroslav Brzezina, CSc.