Předmět Matematika s didaktikou (KMA / MANZS)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / MANZS - Matematika s didaktikou, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové (UHK).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

Geometrie1. Afinní prostor. Definice a základní vlastnosti. Lineární soustava souřadnic a souřadnice bodů. Podprostory afinního prostoru a jejich vyjádření jednak pomocí parametrických rovnic a jednak analytických rovnic. Určování bodů a podprostorů v konstrukční geometrii resp. v některém promítání.2. Dělící poměr a dvojpoměr. Věta Menelaova a Cevova. Jejich důkazy.3. Vzájemná poloha podprostorů afinního prostoru. Příčky mimoběžných podprostorů afinního a euklidovského prostoru. Příčka jdoucí bodem, mající daný směr a osa mimoběžek. Algebraické řešení.4. Vektorový prostor se skalárním součinem. Euklidovský prostor. Definice a základní vlastnosti. Vnější a vektorový součin. Užití při výpočtu obsahu a objemu.5. Kolmost a totální kolmost podprostorů v euklidovském prostoru. Vzdálenost dvou podprostorů. Odchylka přímky a podprostoru. Odchylka dvou přímek, přímky a nadroviny, dvou nadrovin.6. Afinní zobrazení. Samodružné elementy afinního zobrazení. Osová afinita a její vlastnosti. Afinita mezi kružnicí a elipsou. Sdružené průměry kuželoseček.7. Shodná zobrazení. Shodnosti v rovině. Shodnosti v rovině a jejich rozklad na osové souměrnosti. Užití shodných zobrazení při řešení konstrukčních úloh.8. Podobná zobrazení. Rozklad podobnosti na stejnolehlost a shodnost. Podobnosti v rovině. Samodružné body vlastní podobnosti. Stejnolehlost dvou kružnic. Mocnost bodu ke kružnici. Užití podobných zobrazení při řešení konstrukčních úloh.9. Kruhová inverze v rovině. Základní vlastnosti. Obraz bodu, přímky a kružnice v kruhové inverzi. Apolloniovy úlohy. Užití kruhové inverze při řešení Apolloniových úloh.10. Kuželosečky a kvadriky jako množiny bodů v E2 a E3 definované pomocí vzdálenosti. Rovnice kuželoseček a kvadrik. Odvození některých z těchto rovnic.11. Kvadriky. Základní vlastnosti kvadrik. Zobrazení kužele a válce v Mongeově projekci a kótovaném promítání. Průnik roviny s těmito singulárními kvadrikami.12. Metrické a polární vlastnosti kuželoseček. Tečna a polára kuželosečky. Sdružené průměry a osy. Střed a asymptota kuželosečky.Didaktika matematikyPři státní zkoušce z didaktiky matematiky má uchazeč prokázat svou způsobilost k učitelství matematiky na základní škole v tom smyslu, že:Má vyhovující znalosti o koncepci výuky matematiky na základní školemá přehled o učivu matematiky příslušného stupně školymá přehled o možnostech didaktického zpracování jednotlivých tematických celkůmá dovednost z daných materiálů (učebních osnov, učebnic) vhodně metodicky zpracovat daný úsek učiva.1. Definice v matematice. Pojem, induktivní a deduktivní cesta vytváření pojmů, úloha definice, druhy definic, chyby definic. Definice ve školní výuce matematiky. Příklady.2. Matematická věta. Pojem matematické věty, druhy matematických vět. Matematická věta ve školním vyučování.3. Důkazy v matematice. Pojem matematických důkazů, druhy důkazů. Úloha důkazů ve výuce matematiky na ZŠ.4. Prvky statistiky na ZŠ. Grafy. Aritmetický, geometrický a harmonický průměr, medián, modus, rozptyl, směrodatná odchylka.5. Přirozená a desetinná čísla na ZŠ. Zápisy přirozených čísel a početní operace na 2.stupni ZŠ. Desetinná čísla a zlomky - pořadí zavedení, pojem a způsob zavedení desetinných čísel, porovnávání, početní operace s desetinnými čísly.

Požadavky

Matematická analýza1. Posloupnosti reálných čísel. Vlastní a nevlastní limita posloupnosti, vybraná posloupnost. Věty pro počítání limit (součet, součin, podíl, sevření). Limita monotónní posloupnosti, zavedení čísla e. Bolzanova-Cauchyova podmínka. Limita posloupnosti komplexních čísel.2. Řady reálných čísel. Konvergence, divergence, součet řady. Bolzanova-Cauchyova podmínka. Kritéria konvergence řad s nezápornými členy (srovnávací, odmocninové, podílové, integrální). Leibnizovo. Absolutní a relativní konvergence. Kritéria absolutní konvergence. 3. Reálné funkce jedné reálné proměnné. Graf funkce. Funkce prostá, monotónní, sudá, lichá, periodická, inverzní. Elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy. Funkce exponenciální, logaritmické, goniometrické, cyklometrické. Jejich derivace, rozvoj v řadu.4. Spojitost a limita (vlastní nebo nevlastní, ve vlastním nebo nevlastním bodě) funkce jedné reálné proměnné. Jednostranné limity. Věty pro počítání limit. Vztah mezi limitou a spojitostí. Věty o funkcích spojitých v intervalu.5. Množiny v metrických prostorech. Euklidovský prostor. Uzávěr, vnitřek, hranice, izolovaný bod, hromadný bod množiny. Otevřené a uzavřené množiny, jejich vlastnosti. Limita a spojitost zobrazení z prostoru do prostoru. Heineho věty. Kompaktní množiny v euklidovských prostorech.6. Derivace funkce jedné reálné proměnné. Definice, věty pro počítání derivací, vztah ke spojitosti. Věty Rolleova a Langrangeova. Věty pro vyšetřování průběhu funkcí (monotonie, konvexnost, konkávnost) v intervalu pomocí derivace. Asymptoty grafu. L´Hospitalova pravidla. Taylorův polynom. Taylorova věta.7. Primitivní funkce, neurčitý integrál, definice, metody výpočtu. Newtonův integrál. Definice, linearita, monotonie, aditivita. Integrace per partes a substituční metoda.8. Riemannův integrál. Definice, základní vlastnosti, linearita, aditivita, monotonie. Věty o existenci integrálu a primitivní funkce. Vztah Riemannova a Newtonova integrálu. Aplikace v geometrii. Nevlastní Riemannův integrál.9. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Spojitost, parciální derivace, vzájemné vztahy. Diferenciál a parciální derivace složených funkcí. Absolutní, lokální a vázané extrémy funkcí.10. Diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární rovnice, integrační faktor. Separace proměnných, homogenní rovnice. Věta o řešení rovnice y´= f(x,y).11. Lineární diferenciální rovnice řádu n. Vlastnosti množiny všech řešení. Fundamentální systém, Wronského determinant. Metoda variace konstant. Řešení rovnic s konstantními koeficienty. Využití speciálního tvaru pravé strany.12. Bodová a stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí v množině. Bolzanova-Cauchyova podmínka. Kritéria stejnoměrné konvergence posloupností a řad . Limitování, derivování a integrování člen po členu.13. Mocninné řady. Abelovo lemma, poloměr, interval, kruh a obor konvergence mocninné řady. Stejnoměrná konvergence, derivování a integrování mocninné řady. Taylorovy řady, podmínky jejich konvergence, použití k přibližným výpočtům.