Předmět Lineární algebra II (NMAF028)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu NMAF028 - Lineární algebra II, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze (UK).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Sylabus

1) Exponenciála matice. Definice, základní vlastnosti (vlastní vektory exponenciály, exponenciála podobných matic). Vztah Tr A a det exp A . Příklady . 2) Pojem Lieovy algebry a příklady : g = gl, sl, o, u, su. Vztahy typu exp g = G. Izomorfismus vektorového násobení a komutování v o(3). 3) Teorie nilpotentních operátorů. Ekviv. charakterizace pomocí spektra, příklady (operátory derivování na polynomech). Studium posloupnosti kořenových podprostorů k-tého řádu a alternativně k-násobných obrazů. Nezávislost vůči podprostoru. Konstrukce počátečních vektorů řetězců dávajících Jordanovu basi prostoru . 4) Direktní rozklad prostoru na kořenové podprostory daného operátoru . Obecná Jordanova věta. Věta Hamilton Cayleyho. Exponenciála Jordanovy matic s použitím na řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic. 5) Positivní a stochastické matice. Hledání největšího vlastního čísla iterací. Interpretace příslušného vlastního vektoru (stacionární stav systému). 6) Pojem duálního prostoru, duální base, duálního operátoru, transponované matice, ontragradientní matice (přechodu duálních basí). 7) Dualita a skalární součin: věta o representaci lineární formy (skalárním násobením vhodným vektorem). Pojem adjungovaného operátoru. Samoadjungované (Hermitovské), unitární, obecněji normální operátory. Adjunkce diferenciálního operátoru a metoda per partes. 8) Věta o spektrálním rozkladu normálního operátoru. Příklad - operátor derivování na trigonometrických polynomech. Funkce normálního operátoru. Ortogonální polynomy (příklad : Hermitovy, Legendreovy) jako výsledek ortogonalizačního procesu ve vhodném skalárním součinu (alternativně jako vlastní vektory vhodného diferenciálního operátoru). Kreační a anihilační operátor. 9) Bilineární a kvadratické formy . Diagonalizace Hermitovské formy : a) doplněním na čtverec b) Jacobi Sylvesterův zápis ortogonalizačního procesu (zvl. pro positivně definitní formy) c) diagonalizace pomocí spektrálního rozkladu representujícího operátoru formy (dávající ortog. "hlavní osy" formy). Signatura formy a způsoby jejího zjištování . 10) Kvadriky (a kuželosečky), klasifikace a vlastnosti (omezenost, přímkové plochy, vlastnosti rovinných řezů). Zmínka o projektivním prostoru. Význam paraboloidů v analýze funkcí více proměnných (lokální extrémy, sedlové body funkcí). 11) Polární rozklad obecného operátoru na kompozici unitárního a Hermitovského operátoru (resp. unitárního, diagonálního, unitárního operátoru) . 12) Pseudoinverse obdélníkové matice. 13) Pojem tensorového součinu vektorových prostorů, isomorfismy mezi různými definicemi, jako je formální lineární obal kartézského součinu basí, množina multilineárních funkcionálů na součinu duálů, faktorprostor formálního lineárního obalu kartézského součinu prostorů . Rozložitelné tensory. Příklady tensorů: vektory, kovektory, bilineární formy, strukturní tensor algebry, determinant jako multilineární funkce sloupců, fyzikální příklady. 14) Složkový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo. 15) Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů. 16) Symetrické tensory, symetrizace, symetrický tensorový součin. 17) Antisymetrické tensory, antisymetrizace, antisymetrický (vnější) tensorový součin, Grassmannova algebra . Vektorový součin. Měření ploch mnohoúhelníků, obecněji k-rozměrných polyedrů v n-rozměrném euklidovském prostoru. Grammova matice a Grammův determinant obdélníkové matice.kový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo. 15) Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů. 16) Symetrické tensory, symetrizace, symetrický tensorový součin. 17) Antisymetrické tensory, antisymetrizace, antisymetrický (vnější) tensorový součin, Grassmannova algebra . Vektorový součin. Měření ploch mnohoúhelníků, obecněji k-rozměrných polyedrů v n-rozměrném euklidovském prostoru. Grammova matice a Grammův determinant obdélníkové matice.

Literatura

L. Motl, M. Zahradník Pěstujeme lineární algebru učebnice, Karolinum 2002 K. Výborný, M.Zahradník Používáme lineární algebru (sbírka řešených příkladů), Karolinum 2002

Garant

Ing. Branislav Jurčo, CSc., DSc.