Předmět Úvod do analýzy na varietách (NMAG335)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu NMAG335 - Úvod do analýzy na varietách, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze (UK).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Sylabus

1. Topologická varieta (mapy, přechodové funkce, atlas), hladká varieta (differencovatelná struktura), základní příklady variet (otevřené množiny v , implicitně zadané podvariety v projektivní prostor, Grassmannovy variety, kartézské součiny variet). 2. Hladké zobrazení variet, hladké funkce na varietě, difeomorfismy variet, tečný vektor k varietě v bodě, tečný prostor k varietě v bodě, souřadnicový popis vektorů, geometrický význam vektorů (tečné vektory ke křivkám), tečné zobrazení ke hladkému zobrazení, souřadnicový popis, souvislost s Jakobiánem zobrazení. 3. Stručný souhrn tensorové algebry: tensorový součin vektorových prostorů, tensorový součin lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory, tensorová algebra vektorové-ho prostoru, vnější mocnina vektorového prostoru, vnější algebra vektorového prostoru, základní vlastnosti vnějšího násobení, symetrická mocnina vektorového prostoru, orientace vektorového prostoru, objem rovnoběžnostěnu v pomocí vnějšího součinu a pomocí Grammovy matice. 4. Tensorové pole na varietě typu (p,q), Riemannova (pseudo)-metrika na varietě (Min-kowského prostoročas), diferenciální formy stupně, algebra diferenciálních forem jako algebra nad modulem funkcí, orientace variety, vnější diferenciál diferenciální formy, jeho vlastnosti a výpočet v souřednicích, bezsouřadnicová formule pro vnější diferenciál, exaktní a uzavřené formy, de Rhamův komplex, de Rhamovy kohomologie, Poincarého lemma, přenášení tensorových polí pomocí hladkého zobrazení, přenášení diferenciálních forem pomocí hladkého zobrazení, souřadnicové vyjádření, základní vlastnosti. 5. Varieta s krajem, její tečný prostor, diferenciální formy na ní, hladké zobrazení mezi varietami s krajem, přenášení diferenciálních forem, orientace. 6. Rozklad jednotky na varietě s krajem, existenční věta pro rozklad jednotky na varietě s krajem, integrace diferenciálních forem s kompaktním nosičem na orientované varietě s krajem, věta o výpočtu integrálu diferenciální formy přes varietu s krajem, Stokesova věta pro variety s krajem. 7. Forma objemu na (pseudo)-Riemannově varietě, integrace funkcí na (pseudo)-Rie-mannově varietě, výpočet v lokálních souřadnicích. Pokud možno:8. Lieova derivace tensorových polí, vnitřní součin (krácení) diferenciální formy vektorovým polem, souvislost Lieovy derivace a vnějšího diferenciálu.

Literatura

L. Krump, V. Souček, J. A. Těšínský: Matematická analýza na varietách, skriptum, Karolinum, 2008 (2. vydání).O. Kowalski: Úvod do Riemannovy geometrie, skriptum, Karolinum, 1975 (2. vydání).M. Fecko: Diferenciálna geometria Lieovy grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava, 2008.

Garant

prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc.Mgr. Lukáš Krump, Ph.D.