Předmět Úvod do funkcionální analýzy (O) (NMMA931)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu NMMA931 - Úvod do funkcionální analýzy (O), Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze (UK).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Sylabus

1. ÚvodBanachovy a Hilbertovy prostory, příklady, spojitost vektorových operací, konvexní a linární obal a jejich vlastnosti, ekvivalentní normy2. Operace s Banachovými prostorypodprostor, součin, faktorprostor, komplexifikace, zúplnění prostoru, alegebraický a topologický součet a doplněk, kodimenze3. Operátory a funkcionálycharakterizace spojitosti, ekvivalentní popis normy, prostor operátorů, izomorfizmus4. Hilbertovy prostoryCauchy-Schwarzova nerovnost, rovnoběžníkové pravidlo, promítání na konvexní množinu, ortogonální doplněk, sumace v Banachových prostorech, maximální a ortonormální systém,jejich charakterizace (Besselova a Parsevalova věta), Rieszova-Fischerova věta, příklad L_25. Hahnova-Banachova větaalgebraická verze, důsledky (oddělování bodů, rozšiřování spojitého funkcionálu, oddělování podprostoru), doplněk prostoru konečné dimenze a kodimenze, geometrické oddělování (bez důkazu)6. Dualitakanonické vnoření, popis duálu Hilbertova prostoru, dualita pro c_0 a L_p, dualita pro C(K) a Radonovy míry, definice reflexivity a reflexivita Hilbertova prostoru7. Úplnost v Banachových prostorechprincip stejnoměrné omezenosti a Banachova-Steinhausova věta, věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu8. Duální operátoryduální a adjungovaný operátor, anihilátory, izomorfizmus a dualita9. Kompaktní operátorydefinice a základní vlastnosti, lemma o skoro kolmici a konečně dimenzionální prostory, Arzelova-Ascoliova věta, Schauderova věta, definice spektra, struktura spektra pro kompaktní operátory a Fredholmovy věty10. Konvoluce a vlastnosti L_pLuzinova věta, hustota spojitých funkcí v L_p, separabilita, definice konvoluce a základní vlastnosti, zhlazovací jádro a jeho užití při aproximaci, L_p odhady pro konvoluci, hustota D v L_p11. Distribucedefinice D a konvergence v D, základní vlastnosti, definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce, řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí),Banachova-Steinhausova věta (bez důkazu)12. Fourierova transformace funkcíDefinice Fourierovy transformace na L_1 a její základní vlastnosti, Schwarzův prostor S, základní vlastnosti Fourierovy transformace na S, Fourierova transformace na L_1 a věta o inverzi,Fourierova transformace konvoluce a Plancherelova věta

Literatura

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997) M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968) J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003) J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005) L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989) K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988) I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972) P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990) W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003) W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975) J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975) A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Garant

doc. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.