Předmět Teorie množin (O02310041)
Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu O02310041 - Teorie množin, Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze (UK).
Top 10 materiálů tohoto předmětu
Materiály tohoto předmětu
| Materiál | Typ | Datum | Počet stažení |
|---|
Další informace
Cíl
Cílem kursu je precizování pojmu nekonečna pomocí Cantorovy teorie množin a práce s nekonečnem; příklady z aritmetiky a geometrie poskytující hlubší vhled do pojmu nekonečna (Cantorovo diskontinuum, Peanova křivka apod.)
Sylabus
Obsah kursu: Antinomie Cantorovy intuitivní teorie množin. Porovnávání množin. Ekvivalentní (stejně mohutné) množiny. Konečné a nekonečné množiny. Princip inkluze a exkluze pro konečné množiny a jeho aplikace (Eulerova číselně teoretická funkce). Konstrukční a existenční důkazy ekvivalentnosti dvou nekonečných množin. Množiny různých mohutností. Porovnání mohutnosti množiny A s mohutností její potenční množiny P(A) (Cantorova věta). Spočetné a nespočetné množiny. Sjednocení a kartézský součin dvou spočetných množin; důkaz jejich spočetnosti. Sjednocení a kartézský součin spočetně mnoha spočetných množin; otázka jejich spočetnosti či nespočetnosti. Nespočetné množiny a množiny mohutnosti kontinua. Nespočetnost množiny reálných čísel R. Nespočetnost množiny všech nekonečných posloupností čísel z N. Množiny mohutnosti kontinua a větší mohutnosti.Cantorovo diskontinuum (CD). Nespočetnost CD. Ekvivalence CD a množiny reálných čísel R. Ekvivalence úsečky se čtvercem a s krychlí. Využití CD ke konstrukci spojitého zobrazení úsečky na čtverec (Peanova křivka).Kardinální čísla. Definice. Sčítání, násobení a umocňování kardinálních čísel. Porovnání aritmetiky kardinálních čísel konečných a nekonečných množin. Alefy (?0, ?1, ..). Hypothesa kontinua. Uspořádání a dobré uspořádání. Definice. Vlastnosti podobných (dobře) uspořádaných množin (obraz prvního a posledního prvku, apod.) Základní věta o dobře uspořádaných množinách. Porovnání dvou dobře uspořádaných množin. Ordinální čísla. Definice a početní operace. Porovnání aritmetiky ordinálních čísel konečných a nekonečných dobře uspořádaných množin. Porovnání s aritmetikou kardinálních čísel. Limitní ordinální čísla. Princip transfinitní indukce. Zermelův axiom a Zermelova věta. Selektor. Věta o existenci dobrého uspořádání libovolné množiny. Důsledky. Hamelova base, její užití k řešení rovnice). Existence spočetné podmnožiny libovolné nekonečné množiny.
Literatura
Alexandrov, P. S.: Úvod do teorie množin a funkcí Sierpinski, W.: Cardinal and ordinal numbers Balcar, B.- Štěpánek, P.: Teorie množin Bukovský, L.: Množiny a všeličo okolo nich Rohlíčková, I.: Aritmetika konečných a nekonečných množin Bečvář, J.a kol.: Seznamujeme se s množinami Pospíšil, B.: Nekonečno v matematice Vilenkin, N. J.: Nekonečné množiny Koman, M: Sbírka vybraných úloh ke kurzu teorie množin (Postupně zveřejňovaná)
Garant
Prof. RNDr. Milan Koman, CSc.prof. RNDr. Ladislav Kvasz, Dr.