Předmět Matematická analýza II (OB2310N004)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu OB2310N004 - Matematická analýza II, Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze (UK).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Cíl

Seznámit studenty se základními pojmy diferenciálního počtu, vést je k pochopení základních vztahů mezi nimi a naučit je užívat teoretických poznatků k řešení konkrétních úloh.

Sylabus

Odvoďte řadu pro ln (2) a uveďte urychleně konvergující řadu pro stejné číslo.Odvoďte řadu pro pi/4. Uveďte urychlenou řadu pro pi/4.Odvoďte Newtonovu binomickou formuli. Uveďte řadu pro arcsin(x).Uveďte Taylorovu formuli a odvoďte z ní řady pro sinus, kosinus, exponenciálu a ln(x).Odvoďte součet řady převrácených druhých mocnin přirozených čísel.Pomocí Newtonovy binomické formule vypočtěte druhou odmocninu ze 105 s přesností na 5 desetinných míst.Odvoďte vztah pro sin(13α) pomocí Eulerovy formule.Dokažte Taylorův vzorec pro rozvoj funkce do nekonečné řady.Definujte pojem konvergence, divergence a oscilace nekonečné řady.Vyslovte a dokažte srovnávací kritérium pro řady s nezápornými členy.Vyslovte a dokažte Cauchyho limitné odmocninové kritérium konvergence.Vyslovte a dokažte zobecněné srovnávací kritérium konvergence řady s nezápornými členy.Vyslovte a dokažte dAlembertovo limitné podílové kritérium.Ukažte, že řada n-(1+ε) konverguje pro libovolně malé kladné ε a diverguje pro ε záporné.Dokažte divergenci harmonické řady přímo a také srovnáním s integrálem.Definujte pojem absolutní a neabsolutní konvergence nekonečné řady a pojem přerovnání řad.Dokažte, že řada vzniklá přerovnáním absolutně konvergentní řady má stejný součet jako původní řada.Ukažte, že přerovnáním možno dát neabsolutně konvergentní řadě libovolný součet.Dokažte základní větu algebry.Dokažte Bolzanovu větu, že spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývající v koncových bodech intervalu hodnoty různých znamínek, nabývá hodnotu 0.Dokažte Weierstrassovu větu, že spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá svého maxima.Definujte pojem Riemannova integrálu.Dokažte, že k funkci spojité na uzavřeném intervalu existuje její Riemannův integrál. Definujte Riemannovu funkci, nespojitou v racionálních bodech a spojitou v iracionálních bodech jednotkového intervalu. Ukažte, že tato funkce je Riemannovsky integrovatelná.Ukažte, že každá integrovatelná funkce je omezená.Ukažte, že Riemannův integrál jako funkce horní integrační meze je primitivní funkce k podintegrální funkci. Co z toho plyne o vztahu Riemannova a Newtonova integrálu?Vyslovte a dokažte Lagrangeovu větu o střední hodnotě. Definujte pojem rovnoměrné spojitosti. Ukažte, že funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu také rovnoměrně spojitá.

Literatura

§ Ross, K. A.:Elementary Analysis: The Tudory of Calculus. Undergraduate texts in Mathematics, Springer Verlag New York-Heidelberg-Berlin 1980§ Fischer, E.: Intermediate Real Analisis. 1983§ Jarník, V.: Diferenciální počet I, II. Academia, Praha 1984§ Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele I. Matfyzpress, Praha 1997§ Děmidovič, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha 2004

Požadavky

Zápočet: pravidelná účast na semináři správné a včasné vypracování domácích prací úspěšné vykonání průběžných kontrolZkouška: znalost definicí, vět a důkazů a schopnost ilustrovat je příklady a protipříklady schopnost řešit konkrétní úlohy využitím teoretických poznatků

Garant

prof. RNDr. Ladislav Kvasz, Dr.Doc.RNDr. Jiří Jarník, CSc.