Předmět Diferenciální geometrie (KAG / DGN)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KAG / DGN - Diferenciální geometrie, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci (UP).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1. Křivky:Bodové a vektorové funkce jedné a dvou proměnných - limita, spojitost, derivace.Pohyb regulární, jednoduchý. Jednoduchá křivka. Křivka a její lokální parametrizace.Transformace parametru. Orientace křivky. Délka křivky, přirozený parametr (oblouk).Přirozené parametrizace. Tečna a normály. Inflexní body, singulární body.Oskulační rovina. Invarianty křivky. Styk křivek.V dimenzi 3: Frenetův repér - jednotkové vektory tečny, hlavní normály, binormály, roviny tečná, oskulační, rektifikační.Křivost křivky, poloměr křivosti, střed křivosti, oskulační kružnice.Frenetovy vzorce, torze křivky. Věta o určenosti křivky křivostí a torzí. Příklady.Specielní typy křivek: spádové, rovnoběžné? evolventy a evoluty.2. Tenzory:Kovariantní a kontravariantní souřadnice tenzorů.Algebraické operace s tenzory, úžení tenzorů, zvyšování a snižování indexů.Transformační vztahy pro složky tenzorů.Symetrické a antisymetrické tenzory.Vektorová pole, integrální křivky.Tenzorová pole.Diferenciální formy.3. Plochy:Zadání - parametricky (regulární transformace parametrů), explicitně, implicitně.Regulární plocha.Křivočaré souřadnice na ploše.Křivky na ploše - souřadnicové, obecné.Tečná rovina, normála.Příklady: plochy rotační, kvadratické, přímkové, šroubové, obalová plocha jednoparametrické soustavy ploch.Vektorová a tenzorové pole na ploše.Derivace funkce resp. vektorového pole podle vektoru.První kvadratická diferenciální forma plochy.Délka křivky na ploše, úhel dvou křivek, plošný obsah obrazce.Izometrické zobrazení a rozvíjení ploch.Druhá kvadratická diferenciální forma plochy, normální křivost plochy.Meusnierova věta.Hlavní směry a křivosti, hlavní křivky, střední a Gaussova křivost plochy.Plochy minimální.Typy bodů na ploše, parabolické křivky.Eulerova věta.Asymptotické směry, asymptotické křivky.Geodetická křivost, geodetické křivky.Gaussovy a Weingartenovy rovnice, věta o určenosti plochy první a druhou formou.Theorema Egregium.4. Gradient funkce, divergence a rotace vektorového vektorového pole. Nabla-operátor, Laplaceův operátor I., II.5. Diferencovatelná varieta, tečný prostor, vektorová pole.

Získané způsobilosti

1. ZnalostiPřipomeňte vlastnosti důležitých druhů křivek na ploše (hlavní, asymptotické, geodetické).

Literatura

Klingenberg W. A course of differential geometry. Springer, 1978. Doupovec, M. Diferenciální geometrie a tenzorový počet. VUT Brno, 1999. Gray A. Differential geometry. CRC Press Inc., 1994. Budinský B. Analytická a diferenciální geometrie. SNTL Praha, 1983. Fecko M. Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Iris, Bratislava, 2004. Vanžurová, A. Diferenciální geometrie křivek a ploch. UP Olomouc, 1996. DO Carmo M. Differential Forms and Applications. Springer, 1994. Hicks N. J. Differential geometry. Van Nostrand Comp., 1965. DO Carmo M. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, 1976. Isham C. J. Modern Differential Geometry for physicists. World Scientific, 1989. Boček L. Tenzorový počet. SNTL Praha, 1976. Budinský B. Kepr B. Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi. SNTL Praha, 1970.

Požadavky

Zápočet: napsat dvě zápočtové písemné práce, z každé získat alespoň polovinu bodů.Zkouška: základní porozumění látce, schopnost aplikací v příkladech.

Garant

prof. RNDr. Josef Mikeš, DrSc.

Vyučující

prof. RNDr. Josef Mikeš, DrSc.prof. RNDr. Josef Mikeš, DrSc.