Předmět Základy algebry a geometrie (KAG / SZZAG)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KAG / SZZAG - Základy algebry a geometrie, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci (UP).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1.Vektorové prostory konečné dimenze. Aritmetické vektorové prostory, báze, Steinitzova věta o výměně bází.2.Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení. Frobeniova věta, Gaussova eliminační metoda.3.Eukleidovské vektorové prostory. Skalární součin, Schmidtův ortogonalizační proces, ortogonální báze.4.Homomorfismy vektorových prostorů, matice homomorfismu, ortogonální transformace.5.Kořenové vlastnosti polynomů, násobnost kořenů, odstraňování vícenásobných kořenů, racionální kořeny. Základní věta algebry, Bezoutova věta, Hornerovo schéma.6.Polynomy více neurčitých nad tělesy, symetrické polynomy a jejich užití.7.Algebraická řešitelnost algebraických rovnic. Reciproké rovnice, binomické rovnice, kubické rovnice.8.Binární relace na množině. Relace uspořádání, relace ekvivalence. Rozklady množin, faktorové množiny.9.Podgrupy a normální podgrupy, kongruence a homomorfismy grup. Faktorové grupy.10.Podgrupa generovaná množinou, cyklické grupy. Cayleyho věta.11.Podokruhy a ideály v okruzích. Prvoideály a maximální ideály. Homomorfismy a kongruence okruhů.12.Dělitelnost v oborech integrity, celá čísla z hlediska dělitelnosti, okruhy zbytkových tříd.13.Eukleidovské obory integrity. Gaussovy obory integrity.14.Polosvazy a svazy jako uspořádané množiny a jako algebry. Úplné svazy.15.Modulární a distributivní svazy. Booleovské svazy a Booleovy algebry.16.Přirozená čísla-Peanovy axiomy, přirozená, celočíselná, racionální a reálná mocnina kladného reálného čísla.17.Uspořádané obory integrity, konstrukce celých čísel.18.Vnoření oboru integrity do tělesa, konstrukce tělesa racionálních čísel a jeho vlastnosti.19.Reálná čísla-Dedekindovy řezy, operace v R, uspořádání v R, Dedekindova věta a její důsledky.20.Konstrukce tělesa komplexních čísel, geometrické interpretace početních výkonů s komplexními čísly.21.Kritéria dělitelnosti přirozených čísel. z-adický zápis přirozeného čísla, z-adické rozvoje racionálních čísel.22.Afinní prostor [definice, rozdíl bodů, součet bodu a vektoru, soustava souřadnic]23.Podprostory afinního prostoru [definice, parametrické rovnice, soustava obecných rovnic, vzájemné polohy podprostorů]24.Poloprostory afinního prostoru [definice, analytické vyjádření, orientace a uspořádání na přímce]25.Lineární kombinace bodů [lineární nezávislost bodů, geometrické souřadnice bodu a vektoru]26.Euklidovský prostor [definice, metrika indukovaná skalárním součinem]27.Vzdálenost podprostorů euklidovského prostoru [vzdálenost bodu a podprostoru, vzdálenost dvou rovnoběžných a mimoběžných podprostorů]28.Odchylka podprostorů euklidovského prostoru [odchylka dvou přímek, přímky a podprostoru, dvou nadrovin]29.Kuželosečky v euklidovské rovině [definice, kanonické báze a rovnice, vyšetřování kuželoseček metodou transformace soustavy souřadnic]30.Přímka a kuželosečka v E2 [vzájemné polohy, obecná rovnice tečen a asymptot]31.Středy a průměry kuželoseček v E2 [definice, středy a průměry u jednotlivých kuželoseček]32.Kvadriky v třírozměrné euklidovském prostoru [definice, kanonické báze a rovnice, invarianty kvadrik]33.Přímka a kvadrika v E3 [vzájemné polohy přímky a kvadriky, středy kvadrik]34.Rovina a kvadrika E3 [řez kvadriky rovinou, tečná rovina a její obecná rovnice, tvořící přímky]35.Afinní zobrazení [definice, asociovaný homomorfizmus, analytické vyjádření, samodružné body a směry]36.Afinní grupa [afinita, podgrupy afinní grupy, klasifikace afinit v rovině]37.Shodné zobrazení [definice, analytické vyjádření, samodružné body a směry]38.Grupa shodností [shodnost, klasifikace shodností v euklidovské rovině]39.Podobné zobrazení [definice, analytické vyjádření, grupa podobností]40.Kruhová inverze [definice, analytické vyjádření]

Získané způsobilosti

1. ZnalostiPorozumět základním pojmům algebry a geometrie ve vzájemných souvislostech.

Literatura

l. litratura předmětů SZZ.

Požadavky

Složení ústní zkoušky.\\Studenti si musí zapsat předměty KAG/SZZAG, KAG/SZZZA současně a první termín SZZ z těchto předmětů konat ve stejný den.\\Studenti, kteří současně nemají pro KAG/SZZGA, KAG/SZZZA splněný právě jeden z podmiňujících předmětů (KAG/MALG4,KAG/MGEO4,KMA/MMAN4, KAG/MKOG3) mohou požádat během letního semestru vedoucího katedry algebry a geometrie o umožnění zápisu předmětů státní závěrečné zkoušky. Po schválení vedoucím KAG jim předměty státní závěrečné zkoušky zapíše studijní referentka.

Garant

doc. RNDr. Petr Emanovský, Ph.D.prof. RNDr. Ivan Chajda, DrSc.