Předmět Algebra a geometrie a jejich aplikace (KMA / SZZA)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / SZZA - Algebra a geometrie a jejich aplikace, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci (UP).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1.Matice, vlastní čísla a vektory, speciální matice (např. symetrické, pozitivně definitní) a jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar, rozklady matic, podmíněnost matic. Soustavy lineárních rovnic se čtvercovou nebo obdélníkovou maticí, existence a jednoznačnost řešení. Numerické metody řešení: LU-rozklad, Choleského metoda, iterační metody. Výpočet inverzní matice a determinantu.2.Velké řídké soustavy rovnic. Řešení symetrických pozitivně definitních soustav Choleského metodou. Teorie grafu a její vztah k dané problematice. Počítačová realizace grafu. Pásová metoda. Profilová metoda a její realizace. Symbolická faktorizace. Koncepce dosažitelných množin. Eliminační grafy a jejich význam. Algoritmus minimálního stupně. Obecná paměťová schémata. Postupy při řešení soustav, jejichž matice má blokovou strukturu. Metoda paralelních řezu. Metoda vkládaných řezů. Metoda konjugovaných gradientů. Předpodmiňování.3.Numerické metody řešení počátečních ODR. Jednokrokové metody - konvergence a stabilita, explicitní a implicitní Runge-Kutta metody, Rosenbrockova metody, extrapolační metody. Lineární mnohokrokové metody - základní skupiny metod, způsob použití metod, metody prediktor- korektor, konvergence a stabilita. Numerické metody řešení okrajových ODR. Metody založené na převodu na počáteční úlohy, metoda sítí a její realizace, metoda kolokace.4.Numerické metody pro řešení PDR. Semidiskrétní metody - metoda přímek, Rotheho metoda. Metoda sítí pro eliptické úlohy (konvergence, stabilita, způsob aproximace okrajových podmínek). Metoda sítí pro parabolické úlohy v jedné a ve dvou prostorových proměnných. Hyperbolické úlohy --charakteristiky, princip metody charakteristik, metoda sítí, CFL podmínka.5.Optimalizace bez omezujících podmínek. Podmínky optimality 1. a 2. řádu v úlohách bez omezujících podmínek. Minimalizace funkcí jedné proměnné. Minimalizace nediferencovatelných funkcí více proměnných. Minimalizace kvadratických funkcí: metoda největšího spádu a metoda konjugovaných gradientu a jejich konvergence. Spádové metody pro obecné nekvadratické funkce a problematika volby délky kroku. Newtonovské a kvazinewtonovské metody. Souvislost optimalizace s řešením soustav rovnic.6.Optimalizace s omezujícími podmínkami. Podmínky optimality 1. a 2. řádu pro úlohy s omezujícími podmínkami. Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky a sedlové body Lagrangeovy funkce. Dualita. Úloha lineární komplementarity. Úloha kvadratického programování, metody řešení pro úlohy s omezeními tvaru rovnosti. Metoda aktivní množiny. Metody řešení úloh nelineárního programování s lineárními omezeními (metoda projekce gradientu, metoda aktivní množiny). Metody řešení obecných úloh nelineárního programování (penalizační metody, metoda rozšířených lagrangiánu). Princip metody sekvenciálního kvadratického programování. Princip metody vnitřních bodů.7.Variační metody. Základní pojmy a tvrzení variačního poctu. Formulace a řešení základní úlohy variačního poctu. Variační formulace eliptických okrajových problému 2. řádu a 4. řádu. Obecné variační rovnice a nerovnice. Ritzova metoda a Galerkinova metoda pro variační rovnice a jejich konvergence. Problematika volby bázových funkcí. Princip řešení variačních nerovnic.8.Metoda konečných prvků. Princip metody konečných prvku. Triangulace. Konečné prvky a jejich příklady. Prostory konečných prvku. Konvergence metody konečných prvku. Numerická integrace a její vliv na vypočtené řešení. Algoritmus metody konečných prvku. Řešení parabolických úloh.

Získané způsobilosti

Syntéza Uvědomit si vzájemnou souvislost základních pojmů a tvrzení týkajících se lineární algebry.

Požadavky

rozumět látce