Předmět Variační metody (KMA / VM)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu KMA / VM - Variační metody, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci (UP).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Obsah

1.Stručná historie variačního počtu a variačních metod, jejich význam pro aplikace. Lagrangeův princip minima potenciální energie.2.Základní pojmy a tvrzení variačního počtu. Diferencovatelnost ve smyslu Gateaux. Konvexita, slabá polospojitost zdola. Kvadratický funkcionál a jeho vlastnosti.3.Formulace úloh variačního počtu. Základní věty variačního počtu. Koercivita funkcionálu. Výsledky klasického variačního počtu. Euler-Lagrangeova rovnice.4.Variační formulace eliptických okrajových problémů 2. řádu. Funkcionály pro Dirichletovu, Neumannovu, Newtonovu a smíšenou úlohu. Vztah klasické a variační formulace. Úloha lineární teorie pružnosti.5.Řešitelnost eliptických okrajových problémů 2. řádu. Analýza variační formulace Dirichletovy, Neumannovy, Newtonovy a smíšená úlohy z hlediska existence a jednoznačnosti řešení.6.Vybrané eliptické okrajové úlohy 4. řádu a jejich variační formulace. Úloha v 1D: ohyb Euler-Bernoulliho nosníku. Úlohy v 2D: biharmonická rovnice, ohyb tenké desky.7.Nesymetrické eliptické úlohy a jejich řešení. Formulace a řešitelnost úloh pro nesymetrický eliptický operátor 2. řádu.8.Eliptické variační nerovnice. Podmínky řešitelnosti. Eliptické variační nerovnice prvního a druhého druhu. Derivace podle vnější normály. Příklady.9.Nesymetrické variační nerovnice. Obecná variační nerovnice. Lions-Stampacchiovy věty o řešitelnosti. Některé aplikace eliptických nerovnic.10.Ritzova metoda pro variační úlohy. Princip metody, podmínky konvergence a odhad chyby. Volba bázových funkcí. Příklady.11.Galerkinova metoda pro variační rovnice. Princip metody, podmínky konvergence a odhad chyby. Příklady. Stručný přehled historie.12.Ritz-Galerkinova metoda pro řešení variačních nerovnic. Principy použití a rozdíly oproti variačním rovnicím. Analýza konvergence pro nerovnice prvního a druhého druhu.

Získané způsobilosti

AplikaceAplikovat variační počet a teorii optimalizace na okrajové úlohy s cílem získat metody jejich řešení.

Literatura

J. Haslinger. Metoda konečných prvků pro řešení eliptických rovnic a nerovnic. SPN, Praha, 1980. J. Cea. Optimization. Theorie et algorithmes. Dunod, Paris, 1971. K. Rektorys. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky. SNTL, Praha, 1974. K. Rektorys. Variational methods in mathematics, science and engineering. Springer, 2002. S.C. Brenner, L.R. Scott. The mathematical theory of finite element methods. Springer, 2008. ISBN 978-0-387-75933-3.

Požadavky

Zápočet: aktivní účast ve cvičeních.Zkouška: rozumět látce a orientovat se v teoretických i praktických aspektech problematiky.

Garant

RNDr. Horymír Netuka, Ph.D.

Vyučující

RNDr. Horymír Netuka, Ph.D.RNDr. Horymír Netuka, Ph.D.