Předmět Aplikovaná matematika (AM)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu AM - Aplikovaná matematika, Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava (VŠB-TU).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Cíl

- Znalost možností, omezení a chyb matematických modelů a numerických výpočtů- Znalost základních metod pro analytický a numerický výpočet řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciálnírovnice- Znalost základních metod pro analytický a numerický výpočet řešení okrajových úloh pro obyčejné diferenciálnírovnice- Znalost základních metod pro analytický a numerický výpočet řešení okrajových úloh pro parciální diferenciálnírovnice- Schopnost aplikovat získané znalosti o numerických algoritmech

Osnova

1. Úvod do předmětu. Modelování. Fyzické a abstraktní modely. Matematické modelování, výpočtová matematika. Chybyv matematických modelech. Metody verifikace modelů. Apriorní a aposteriorní odhad chyb. Využití matematických modelův praxi.2. Základní pojmy v přenosových jevech 1. – skaláry, vektory – kartézská a geometrická reprezentace vektorů, vektorovéprostory, dimenze vektorových prostorů. Skalární, vektorový a tenzorový součin vektorů a jejich geometrické významy.Matice – jevy reprezentované pomocí matic, singulární a regulární matice, determinant matice a jeho geometrickývýznam, transpozice matic, symetrické matice, vlastní čísla a vlastní vektory matice.3. Základní pojmy v přenosových jevech 2. – Tenzory, vztah tenzorů k vektorům a maticím, základy tenzorového počtu,diferenciální operace s tenzory. Základy teorie pole – skalární a vektorové pole, gradient skalárního pole, divergencea rotace vektorového pole a jejich geometrický význam, skalární potenciál vektorového pole.4. Počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice – Formulace počáteční úlohy pro rovnici prvního řádu. Formulacepočáteční úlohy pro soustavy rovnic prvního řádu. Formulace počáteční úlohy pro rovnici n-tého řádu a její převodna soustavu rovnic 1. řádu. Věta o existenci řešení počáteční úlohy 1. řádu. Vztahy mezi Lipschitzovskými, spojitýmia spojitě diferencovatelnými funkcemi. Vlastnosti řešení ¨počáteční úlohy 1. řádu.5. Analytické metody řešení ODR – Metoda přímé integrace, metoda separace proměnných, lineární rovnice n-tého řádua soustavy lineárních rovnic. Charakteristické funkce, fundamentální řešení, metoda variace konstant.6. Numerické metody řešení ODR 1 – Diskretizace úloh. Obecné numerické schéma řešení ODR. Explicitní a implicitnímetody. Jedno- a vícekrokové metody. Eulerova metoda – explicitní, implicitní, lichoběžníková. Interpolace funkcí– Lagrangeova interpolace, Hermitova interpolace.7. Numerické metody řešení ODR 2 – Konsistence, stabilita a konvergence numerických schémat. Rychlost konvergenceúloh. Podmíněnost úloh. Počítačová reprezentace čísel. Zaokrouhlovací chyby. Konvergence a stabilita postupů založenýchna Eulerově metodě. Metody typu prediktor-korektor. Metody typu Runge-Kutta.8. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 1 – Formulace okrajové úlohy. Okrajové podmínky – Dirichletova,Neumannova okrajová podmínka, Newtonova okrajová podmínka, samoadjugovaný tvar lineární ODR 2. řádu. Ortogonálnífunkce a jejich základní vlastnosti. Fourierovy řady. Homogenní okrajové úlohy. Vlastní čísla a vlastní funkcehomogenní okrajové úlohy. Analytické řešení pomocí přímé integrace. Fourierova metoda.9. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2 – Numerické řešení okrajových úloh pomocí metody sítí (metodakonečných diferencí). Numerické schéma metody, reprezentace okrajových podmínek. Vlastnosti momentové matice. SpeciálníGaussova eliminace pro třípásové matice. Konvergence metody sítí. Stacionární jednorozměrné vedení tepla v tyči,desce, válci a kouli. Omezení metody sítí. 10. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 3 – Metoda konečných prvků pro okrajové úlohy ODR. Slabáformulace úlohy, Galerkinovské aproximace, Courantova báze. Vlastnosti matice tuhosti. Konvergence metody konečnýchprvků. Adaptivní zjemňování výpočetní sítě.11. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 1 – Formulace okrajových úloh pro PDR. Lineární parciálnídiferenciální rovnice 2. řádu a jejich klasifikace. Okrajové podmínky pro PDR. Metoda separace proměnných (Fourierovametoda). Metoda kombinace proměnných u parabolických úloh. Metoda fundamentálního řešení (Greenova funkce).12. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 2 – Numerické řešení okrajových úloh pro PDR metodou sítí(metoda konečných diferencí). Požadavky na výpočetní síť pro zajištění konvergence úlohy. Numerické řešení okrajovýchúloh pro PDR metodou konečných prvků. Časově proměnné úlohy, metoda časových řezů pro parabolické úlohy. Časovéřezy typu – explicitní, implicitní, Crank-Nicholson.13. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 3 – Aplikace analytických a numerických postupů na úlohy– nestacionární vedení tepla v poloomezeném tělese. Symetrický a nesymetrický ohřev omezené desky. Ohřívání deskykonečné tloušťky. Řešení okrajových úloh difúzních rovnic.

Literatura

Bird, R.B.; Stewart, W.E.; Lightfoot, E.N.: Přenosové jevy. Academia, Praha 1968.Dont M.: Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Skripta ČVUT, Praha, 1997.Feistauer M.: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic. Skripta, SPN, Praha, 1981

Požadavky

Žádné

Garant

RNDr. Jan Bitta, Ph.D.

Vyučující

RNDr. Jan Bitta, Ph.D.