Předmět Matematika (2) (FAST-0A2)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu FAST-0A2 - Matematika (2), Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně (VUT).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Cíl

Seznámit se základními pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Zvládnout parciální derivování funkcí více proměnných, seznámit se s pojmem funkce implicitní. Pochopit pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučit se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámit se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.Seznámit se s vybranými diferenciálními rovnicemi (DR) prvního řádu, problematikou existence a jednoznačnosti řešení DR. Naučit se analyticky řešit DR separovanou, lineární, homogenní prvního řádu, exaktní. Zvládnout kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant. Pochopit strukturu řešení nehomogenních lineárních DR n-tého řádu.

Osnova

1. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Parciální derivace.2. Parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou (a více) proměnných. Totální diferenciál, totální diferenciály vyšších řádů funkce.3. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Funkce jedné proměnné daná implicitně. Tečna a normála ke grafu funkce dané implicitně.4. Funkce dvou proměnných daná implicitně. Věty o spojitých funkcích dvou a více proměnných.5. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Globální extrémy.Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. 6. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient.7. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.8. Diferenciální rovnice (dále DR), základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení DR prvního řádu.9. DR prvního řádu - separovaná, lineární, exaktní DR.10. Lineární DR n-tého řádu (dále LDR n-tého řádu), lineární nezávislost řešení, wronskián, struktura řešení.11. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty.12. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.13. Metoda variace konstant.C1. Definice funkce dvou a tří proměnných, definiční obory a jejich grafické znázornění. Rovnice základních ploch v E3, jejich grafické znázornění s využitím řezů rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami.C2. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Parciální derivace.C3. Parciální derivace vyšších řádů funkce dvou (a více) proměnných. C4. Totální diferenciál, výpočet totálních diferenciálů vyšších řádů. Taylorův polynom funkce dvou proměnných.C5. Taylorův polynom funkce dvou proměnných -- dokončení. Funkce jedné proměnné daná implicitně (výpočet druhé derivace). Tečna a normála ke grafu funkce dané implicitně. Kontrolní test.C6. Funkce dvou proměnných daná implicitně (výpočet prvních parciálních derivací, stacionární body). C7. Lokální extrémy explicitní funkce dvou proměnných. Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. Skalární pole, jeho hladiny. C8. Derivace skalární funkce ve směru, gradient. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. C9. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.C10. Řešení DR y^(n)=f(x). DR prvního řádu - separovaná, lineární, exaktní.C11. DR prvního řádu - separovaná, lineární, exaktní. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Kontrolní test.C12. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.C13. Metoda variace konstant. Zápočty.

Literatura

BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J.: Matematika II. SNTL, Praha 1990DIBLÍK,J., PŘIBYL,O.: Obyčejné diferenciální rovnice. CERM Brno 2004LANG, S.: Calculus of several variables. Springer Verlag, New York 1988REKTORYS, K. a spol.: Přehled užité matematiky I. Prometheus, Praha 1995STEIN, S. K.: Calculus and analytic geometry. New York 1989TRYHUK,V., DLOUHÝ,O.: Diferenciální počet II. CERM Brno 2004DANĚČEK, J., DLOUHÝ, O.: Integrální počet I. CERM s.r.o., Brno 2003

Požadavky

Znát základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů. Ovládat derivování, Taylorův polynom a řešení úlohy průběhu funkce. Znát principy integrování elementárních funkcí. Ovládat integrování elementárních funkcí (integrály racionální funkce, goniometrické substituce, integrály některých iracionálních funkcí).

Garant

doc. RNDr. Václav Tryhuk, CSc.

Vyučující

doc. RNDr. Václav Tryhuk, CSc.