Předmět Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice (FEKT-MDRE)

Na serveru studentino.cz naleznete nejrůznější studijní materiály: zápisky z přednášek nebo cvičení, vzorové testy, seminární práce, domácí úkoly a další z předmětu FEKT-MDRE - Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Vysoké učení technické v Brně (VUT).

Materiál	Typ	Datum	Počet stažení

Cíl

Diferenciální rovnice jsou páteří mnoha oblastí inženýrských věd. Cílem kursu je vytvořit základní představy o vlastnostech řešení diferenciálních rovnic, vyložit základní techniky a metody jejich řešení. Úkolem kursu je nejenom seznámit s některými přesnými metodami řešení diferenciálních rovnic (např. s metodou řešení lineárních systémů s konstantními koeficienty pomocí exponenciály matice, s metodami pro řešení některých typů parciálních diferenciálních rovnic - Fourierova metoda, D'Alembertova metoda), ale také ukázat na možnosti získání přibližných informací o vlastnostech řešení (např.při zjišťování stability řešení). Metody jsou ilustrovány na konkrétních příkladech z elektrotechniky.

Osnova

I. Diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy. Existence řešení. Postupné aproximace. Přehled nejdůležitějších typů rovnic prvního řádu, které lze řešit analyticky. Rovnice vyšších řádů. Řešení lineárních rovnic druhého řádu pomocí mocninných řad. Besselova rovnice a Besselovy funkce. II. Existence a jednoznačnost řešení systémů diferenciálních rovnic prvního řádu. Lineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic. Obecné vlastnosti řešení a jeho struktura. Přenosová matice. Řešení počáteční úlohy užitím přenosové matice. Lineární systémy s konstantními koeficienty (homogenní systémy - eliminační metoda, metoda charakteristických čísel, využití exponenciály matice, Putzerův algoritmus řešení, nehomogenní systémy - metoda neurčitých koeficientů, metoda variace konstant). Popis elektrických obvodů lineárními systémy.III. Stabilita řešení systémů diferenciálních rovnic. Autonomní systémy. Ljapunovova přímá metoda pro autonomní systémy. Ljapunovovská funkce. Ljapunovova přímá metoda pro neautonomní systémy. Stabilita lineárních systémů. Hurwitzovo kritérium. Michajlovovo kritérium. Stabilita podle lineární aproximace. Fázová analýza lineárního dvourozměrného autonomního systému s konstantními koeficienty a případy stability.IV. Parciální diferenciální rovnice prvního řádu. Počáteční úloha. Nejjednodušší typy rovnic. Charakteristický systém. Existence řešení. Obecné řešení. První integrály. Pfaffova rovnice.V. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Klasifikace rovnic. Transformace proměnných. Vlnová rovnice, D’Alembertův vzorec. Rovnice vedení tepla, Dirichletova úloha. Laplaceova rovnice. Řešení Fourierovou metodou separace proměnných.

Literatura

Diblík, J. a kolektiv, Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice Aramanovič, I.G., Lunc, G.L., Elsgolc, L.E., Funkcie komlexnej premennej, operátorový počet, teória stability, Alfa, Bratislava, SNTL Praha, 1973Kuben, J., Obyčejné dferenciální rovnice, VA Brno, 2004Myslík, J., Elektrické obvody, BEN - Technická literatura, Praha 1997Evans, G., Blackledge, J., Yardley, P., Analytic Methods for Partial Differential Equations, Springer, Inc., 1999.

Požadavky

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia.

Garant

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.

Vyučující

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.RNDr. Michal Pospíšil, Ph.D.