16) Nerovnice v součinovém tvaru

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Nerovnice v součinovém tvaru

1) Je dána nerovnice s neznámou x ∊ R: x ( 3 – 2x ) < 0 Řešením nerovnice je:

A)

B) ( 0; +

) C) ( – ; 0 ) υ (

D)

E) R \

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2012, příklad č. 19
Body: 2 Výsledek: C

Pracovní tematické zařazení: Nerovnice v součinovém tvaru
Řešení:
1. způsob – metoda logických spojek ( pracovní název )
A * B

< 0 když ( A > 0 a současně B < 0 ) nebo ( A < 0 a současně B > 0 )

x ( 3 – 2x ) < 0
[ x

> 0 a současně ( 3 – 2x ) < 0 ] nebo [ x < 0 a současně ( 3 – 2x ) > 0 ]

[ x

> 0 Λ ( 3 – 2x ) < 0 ] v [ x < 0 Λ ( 3 – 2x ) > 0 ]

[ x

> 0 Λ 3 < 2x ] v [ x < 0 Λ 3 > 2x ]

[ x

> 0 Λ 1,5 < x ] v [ x < 0 Λ 1,5 > x ]

[ x

> 0 Λ x > 1,5 ] v [ x < 0 Λ x < 1,5 ]

[ x Є ( 0, ∞ ) Λ x Є ( 1,5, ∞ ) ]

v [ x Є ( – ∞, 0 ) Λ x Є ( – ∞, 1,5 ) ]

1. průnik: ( 0, ∞ )

∩ ( 1,5, ∞ ) ... x Є ( 1,5, ∞ )

2. průnik: ( – ∞, 0 )

∩ ( – ∞, 1,5 ) ... x Є ( – ∞, 0 )

sjednocení obou vzniklých intervalů: x Є ( – ∞, 0 )

υ ( 1,5, ∞ )

2. způsob – metoda nulových bodů
x ( 3 – 2x ) < 0
nulové body: x1 = 0, x2 = 3/2 = 1,5

( – ∞, 0 ) ( 0, 1,5 ) ( 1,5, ∞ )
x – + +
3 – 2x + + –
x ( 3 – 2x ) – + –

ověření nulových bodů: ani jedno z čísel x1 = 0, x2 = 3/2 = 1,5 zadané nerovnici
x ( 3 – 2x ) < 0 nevyhovuje ( v obou případech vychází 0 )
sjednocení intervalů, kde je výsledná hodnota „–„ ( tedy < 0 ): x Є ( – ∞, 0 )

υ ( 1,5, ∞ )

Poznámka: Nerovnici bychom mohli řešit i tak, že roznásobíme závorku, čímž vzniká
kvadratická nerovnice ( viz sešit ).
--------------------------------------------------