3. Booleova algebra

3. Booleova algebra

• Booleova algebra zobecňuje vlastnosti množinových a logických operací

• Logické proměnné:

  • Logické operace

    • Logický součin

    • Logický součet

    • Negace

  • Speciální operace (negace)

Zákony:

De Morganovy zákony:

Příklady:

Sestavení obvodu z pravdivostní tabulky, vytvořené z funkce pomocí Karnaughovy mapy:

Funkce:

f (a, b, c, d) => Σ (1, 3, 5, 7, 12, 13)

Pravdivostní tabulka:

a b c d y 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0

Karnaughova mapa:

Postup v k vytvoření tabulky z funkce a Karnaughovy mapy z tabulky:

1. Z funkce, kterou dostanu zadanou, vytvořím tabulku

   1. y - Podle toho, která čísla jsou ve funkci uvedena -> Na pozice těchto čísel napíšu „1“, zbytek jsou nuly

   2. a – d se vytváří pravidelně:

      • a – 8x 0, pak 8x 1

      • b – 4x 0, 4x 1 -> Tak až do konce

      • c – 2x 0, 2x 1 -> Tak až do konce

      • d – Na střídačku 0 a 1 až do konce

2. Vytvořím si Karnaughovu mapu, podle počtu proměnných (a - n)

   1. a – d -> 4 x 4

   2. a – c -> 3x3

   3. atd.

3. Vyznačím čarou místa, kde se bere, že je logická jednička

   1. Čtvereček pod čarou je brán jako 1

   2. Čtvereček mimo čáru je brán jako 0

4. Podle toho na jakých pozicích je 1 v tabulce, zapíšu jedničky do Karnaughovy mapy

   1. 5 => 0101 -> Jednička se bude nacházet na místě kde je pod čárou „b“ a „d“, ale mimo čáru „a“ a „c“

   2. 13 => 1101 -> Jednička bude na místě, kde je pod čárou „a“, „b“ a „d“, ale není pod čarou „c“

   3. atd.

5. Vytvořím pod mapy:

   1. Chci vytvářet co největší pod mapy:

      • Pod mapy můžou být 2, 4, 8 pozic velké

6. Z vytvořených pod map vypíšu novou, kratší funkci:

   1. Celá pod mapa buď je nebo není pod čarou

      • Pokud je CELÁ pod mapa pod čarou například „a“ -> Vypíšu do funkce „a“ (bez negace)

      • Pokud je CELÁ pod mapa mimo čáru například „b“ -> Vypíšu do funkce „b“ (s negací)

      • Pokud je pokrytá nebo nepokrytá jen část mapy -> nevypisuju nic

7. Dále vytvořím schéma, podle nové, zjednodušené funkce

Obvod / Schéma:

Zjednodušený - Obvod / Schéma:

1. Z obvodu vidím, že tam kde je operace součinu bude součástka s & (AND) a tam, kde sčítáme, bude součástka s 1

2. Obvod se dá zjednodušit

   1. Tím, že přidám dvojitou negaci a nebudu funkci sčítat, ale násobit, můžu použít více členů NAND – Tím jsou v obvodu pouze 2 různé součástky místo třech a pro masovou výrobu to znamená velké výrobní i finanční ulehčení