Telegrafní rovnice

TELEGRAFNÍ ROVNICE

Uvažujeme nekonečně dlouhé homogenní vedení.

Homogenní - má po celé délce stále stejný průřez a je ze stejného materiálu, osy vodičů mají stálou vzdálenost, teplota po celé délce je konstantní, primární konstanty jsou po celé délce rovnoměrně rozloženy.

Náhradní schéma homogenního vedení

Pro nekonečně dlouhé vedení platí v libovolném místě:

Pro nekonečně dlouhé vedení zakončené impedancí Z platí:

Po úpravě:

Z02(G + jωL)Δx + Z = Δx2(R + jωL) * (G + jωC)Z0 + (R + jωL)Δx + Z

Δx2 → 0

Z02(G + jωC)Δx = (R + jωL)Δx

Osamostatníme Z0:

Z = R + jωL

Y = G + jωC

Z0 – charakteristická impedance vedení – je nezávislá na délce vedení

Odvození dalších sekundárních parametrů vedení

Nekonečně krátký úsek vedení:

Napětí a proud se postupně zmenšují o úbytky vzniklé na impedanci vedení v úseku od počátku vedení až do místa X

-dU = I(R + jωL) * dx

-dI = U(G + jωC) * dx

Výpočet diferenciální rovnice:

-dU = (R + jωL)I * dx

-dI = (R + jωL)U * dx

(1)

(2)

(1)

Rovnici (1) derivujeme podle x, do rovnice (1) dosadíme rovnici (2), upravíme:

Řešením diferenciální rovnice 2. řádu je:

U = k1ejx + k2e-jx

k1,2 – integrační konstanty (mají rozměr napětí)

Určení γ:

(1)

U = k1ej2γ + k2e-j2γ (2)

Rovnici (1) derivujeme podle x:

(3)

Rovnici (2) derivujeme podle x, a to dvakrát za sebou:

(4)

Porovnáme (3) a (4) rovnici:

Do rovnice dosadíme:

Obě strany rovnice vydělíme U a odmocníme: