Matematika_teorie2

1. Definice dvojného integrálu

Když zjemňujeme pokrytí oblasti A obdélníky tak, že ∆xi se blíží k 0, ∆yi se blíží k 0,

blíží se součet S k číslu I. Pak říkáme, že existuje dvojný integrál x fce F(x,y) na oboru A. Má

hodnotu I a píšeme . Integrál platí když je A ohraničená a uvnitř spojitá.

Geometrický význam je I = obsah plochy.

Převod dvojného na dvojnásobný integrál

Fubiniova věta

2.Transformace dvojného integrálu

Jsou dány fce x = ϕ(u,v), y = ψ(u,v) takové že, 1.zobrazují obor B v rovině (u,v) na

obor A v rovině (x y), 2.jsou na uzavřeném oboru B spojité a mají spojité parciální derivace,

3.na oboru B platí:

Při transformaci se daný integrál na daném oboru převádí na integrál z jiné funkce na jiném

oboru, který má však stejnou hodnotu.

Platí-li předchozí pak:

Transformace do polárních souřadnic x=ρcos2ϕ ,y= ρsinϕ , |J|=ρ

Zobecnění- eliptické souřadnice: x=aρcosϕ, y=bρsinϕ ⇒ |J|=abρ

3. Aplikace dvojného integrálu

- plošný obsah - hmotnost - obsah křivkové plochy - objem tělesa -

- souřadnice těžiště - momenty setrvačnosti

4. Trojný integrál

Když zjemňujeme pokrytí oblasti A kvádry tak, že ∆xi se blíží k 0, ∆yi →0, ∆zi→0,

blíží se součet S k jistému číslu I. Pak říkáme, že existuje trojný integrál z fce F(x,y,z) na

oboru A, má hodnotu I a píšeme . Integrál existuje, když kromě podmínek

při vynášení oboru A ještě platí, že A je ohraničená a uvnitř spojitá. Pro ∫∫∫ platí analogické

vlastnosti jako pro ∫∫. Výpočet provádíme rovněž postupnou integrací. Součet S udává

přibližné množství udávané veličiny na oboru A.

5. Transformace trojného integrálu

Jsou dány fce x=ϕ(u,v,w), y=ψ(u,v,w), z=κ(u,v,w) takové že: 1. zobrazují obor B v

prostoru (u,v,w), na obor A v prostoru (x,y,z), 2. jsou na uzavřeném oboru B spojité

a mají tam spojité parciální derivace, 3. na oboru B platí J=0

Transformace do cylindrických (válcových) souřadnic:

ρ>0 x=ρcosϕ

0≤ϕ≤2π y=ρsinϕz∈R z=z J=ρ

Transformace do sférických souřadnic:

koule poloměr r x=ρcosϕsinγ0<ρ

6. Aplikace trojného integrálu

7. Skalární a vektorové pole

Skalární pole – bodu v R3 přiřadíme nějakou fci- skalár u=f(x,y,z)=fu. Skalární pole je

ekvivalentní s jednou fcí tří reálných proměnných. Zavedeme vektorový operátor

∇(δ/δx ;δ/δy ;δ/δz ). Pak lze psát ∇f(x,y,z)= (δ/δx ;δ/δy ;δ/δz ) f(x,y,z)=(f´x , f´y , f´z )

grad f(x,y,z)

gradient – směr největší změny funkčních hodnot

Je-li dána fce f: u=f(x,y,z), která každému bodu svého definičního oboru přiřazuje číslo

( skalár ), je na tomto oboru definováno skalární pole

Vektorové pole

Vektorové pole je ekvivalentní s uspořádanou trojicí fcí tří reálných proměnných

Jestliže bodům v prostoru přiřadíme vektory fcí F: a: ax(x,y,z); ay(x,y,z); az(x,y,z), pak je na

definičním oboru fce F definováno vektorové pole. Poloha bodu v prostoru je dána jeho třemi

souřadnicemi M(x,y,z), nebo polohovým vektorem rM = x,y,z . Jestliže souřadnice bodu M

jsou funkcemi proměnné t (parametru), je také funkcí parametru t: rM=x(t), y(t), z(t) . Když se

mění t, mění se i poloha bodu M .

8. Křivka

Dá se popsat parametrickými rovnicemi x=x(t); y=y(t); z=z(t) t∈J nebo vektorovou

rovnicí jednoho skalárního argumentu f =f(z) =x(t), y(t), z(t) ; t∈J nebo (x(t), y(t), z(t) ).

Když spojíme několik kladně orientovaných oblouků L1, L2 … tak, že koncový bod oblou-

ku L1 je počátečním bodem oblouku L2 a jiné společné body nemají, dostaneme jednoduchý

po částech hladký oblouk L. Je-li navíc koncový bod posledního oblouku počátečním bodem

prvního oblouku dostáváme jednoduchou po částech hladkou křivku uzavřenou.

1. t∈ <α,β>

2. F: x =x(t); y =y(t); z =z(t) jsou spojité na <α,β>

3. zobrazení F je prosté

označení křivky: L: r‘=r‘(t) t∈<α,β> vektorové

L: x =x(t), y =y(t), z =z(t) t∈<α,β> parametrické

Prostorová křivka se neprotíná. Hladká křivka je když navíc ∃ r‘(t)=(x´(t), y´(t), z´(t) )

v každém t∈<α,β>.

9. Křivkový integrál ve skalárním poli

Je dáno skalární pole a v tomto poli jednoduchý hladký oblouk L. Ten můžeme rozdělit na

části; ke každému dílu vytvoříme součin. Všechny tyto součiny sečteme a dostaneme tzv.

integrální součet S(f,L,D) závislý na fci f, na oblouku L a dělení D. Když zjemňujeme dělení

tak, že rozdíl rádius vektoru se blíží k 0 a součet S(f,L,D) se blíží k nějaké hodnotě I závislé

jen na f,L a ne na dělení D, pak existuje křivkový integrál prvního druhu. Píšeme ∫f(x,y,z)ds=I

10. Aplikace křivkového integrálu

1. délka křivky

2. obsah válc. plochy s řídící křivkou c a omezením z =0 a z =f(x,y)

3. hmotnost

4. stat. momenty – rovinné hladké křivky - prostorové hladké křivky

5. momenty setrvačnosti – rovinné hladké křivky - prostorové hladké křivky

11. Křivkový integrál ve vektorovém poli

Je dáno vektorové pole F a hladký jednoduchý orientovaný oblouk L, který rozdělíme na části a ke každému dílu vytvoříme skalární součin, přičemž i je vektor pole F, které patří k bodu M. Skalární součiny sečteme pro všechny části oblouku L. Dostaneme tak integrální součet S(i,L,D), který závisí na vektorové fci i křivce L a dělení D. když při zjemňování dělení se integrální součet blíží k nějaké hodnotě I nezávisle na hodnotě D, pak existuje křivkový integrál druhého druhu.

12. Cirkulace a Greenova věta

Integrál ∫→(a d r) při uzavřené křivce L se nazývá cirkulace vektoru a→ podél křivky L. Vztah mezi křivkovým integrálem v rozvinutém vektorovém poli a integrálem dvojným popisuje Greenova věta: Je dána kladně orientovaná po částech hladká uzavřená křivka L, která ohraničuje rovinnou oblast D a vektorová fce a: = (ax(x,y);ay(x,y) ) jejíž složky mají spojité parciální derivace na D. Pak platí: ∫L(ax+ay)dr = ∫∫D (δxδx-δyδy)dxdy

∫ Pdx+Qdy = ∫∫ (Q´(x)-P´(y) ) dxdy

13. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě

platí: Když existuje na jednoduše souvislé oblasti fce u = f(x,y,z) taková, žejejí diferenciál du = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z)dz , pak pro křivky ležící uvnitř této oblasti nezávisí hodnota integrálu I na integrační cestě a platí, že tuto hodnotu můžeme spočítat jako I = ∫ (x1 ,y1 ,z1)- ∫ (x2 ,y2 ,z2) kde A=[ x1 ,y1 ,z1] , B=[ x2 ,y2 ,z2] . A je počáteční a B je koncový bod oblouku L.

14. Aplikace křivkového integrálu ve vektorovém poli

1. Když vektor v prostoru znamená sílu, pak integrál udává práci této síly na oblouku L.

2. Když L je rovinná po částech hladká uzavřená křivka, pak integrál udává plošný obsah části roviny, kterou křivku ohraničuje.

15. Ortogonální systém funkcí

Prvky pro které je jejich skalární součin roven 0, (xy)=0, nazýváme ortogonální (kolmé). Prvky x1 ,x2…. ,xi tvoří ortogonální systém, když každé dva z nich jsou ortogonální, tj. (xi xj=0 pro i=j ortogonální systém, který neobsahuje nulový prvek je tvořen lineárně nezávislými prvky (žádný z nich není v lineární kombinaci ostatních)).

16. Metoda nejmenších čtverců

Význam kolmého průmětu y vektoru x do podprostoru M je v tom, že y má ze všech vektorů v M nejmenší vzdálenost od x. Když y náleží M, je kolmý průmět vektoru x∈V do M říkáme, že vektor x nahrazujeme vektorem y s chybou x-y. Metoda při které nahrazujeme vektor jeho kolmým průmětem do podprostoru M se nazývá metoda nejmenších čtverců (použití ve vyrovnávacích počtech při řešení sporných soustav).

17.Fourierova řada a Fourierovy koeficienty

Fourierova řada je vyjádření jakékoliv periodické funkce za pomoci funkcí harmonických

18. Konvergence trigonometrické Fourierovy řady

Je-li 2x periodická fce f na intervalu <−x,x>, po částech spojitá, tj. má jen konečný počet bodů nespojitosti I druhu tj. existují jednostranné limity lim(x→x0) f(x)=f (x0) a lim(x→x0÷) f(x)=f(x0÷), které jsou různé a po částech monotónní, pak její Fourierova řada konverguje pro každé x.

19. Kosinova Fourierova řada

f(x)=a/2+Σ…, b=0. Je to sudá funkce,symetrická podle y, F(x)=f(x)…(0,π>F(x)=f(-x)..(-π,0). Je-li f sudá funkce tj. f(-x)=f(x) pak i f(x)cos(nx) je sudá funkce, kdežto f(x)sin(nx) je funkce lichá. Pro Fourierovy koeficienty 2x-period. sudé fce f pak platí a=2/x ∫ xf(x)dx , a0=2/x ∫ xf(x)cos(nx) dx , b=0 pro všechna n. Fourierovy řady pak obsahuje pouze kosinové členy. Je-li f lichá fce tj. f(-x)= -f(x) pak i f(x)cos(nx) je lichá fce kdežto f(x)sin(nx) je fce sudá. Pro Fourierovy koeficienty 2x – periodické fce pak platí an =0 pro všechna n. Fourierova řada pak obsahuje pouze sinové členy. Fce f, která v intervalu <0,π> splňuje Drichletovy podmínky, chceme někdy rozvinout buď ve Fourierovu řadu sinovou nebo kosinovou.

20. Sinová Fourierova řada

a0 =0, a1 =0 je to fce lichá, symetrická podle 0, F(x)=f(x)…(0,π>, F(x)=f(-x)…(-π,0)

Trigonometrická Fourierova řada

Systém funkcí: 1,cos x, sin x….cos(nx), sin(nx)… se nazývá základní trigonometrický systém. Základní trigonometrický systém tvoří ortogonální systém na intervalu <−π,π>. Řada tvaru

a=1,2… je trigonometrická Fourierova řada