1-Zkouska_predtermin

1. vypočtěte f’x(1,1), f’y(1,1) pro funkci (15b.)

f(x,y) = sin(3x2 – y2 – x2y – 1)

f’x = cos(3x2 – y2 – x2y – 1).(6x – 2xy)

f’y = cos(3x2 – y2 – x2y – 1).( - 2y – x2)

f’x(1,1) = cos(3 – 1 – 1 – 1)(6 – 2) = 4

f’y(1,1) = cos0 . (-3) = -3

1. vypočtěte ∫( - cos2x)dx (15b.)

∫( - cos2x)dx = = - ∫costdt = - sin2x

1. ∫ dx (subst. 1 + 3x = t) (15b.)

∫ dx = = ∫ tdt = = =

1. vypočtěte obsah rovinného útvaru ohraničeného křivkami y = x2 – 1, y = x (15b.)

průnik v bodech:

x = x2 – 1

0 = x2 – x – 1

x1 = , x2 =

(x – (x2 – 1)) dx = = 1,85 j2

1. rozhodněte, zda je přímka určená body A[2, 1, -3], B[1, 3, 1] rovnoběžná

s rovinou 2x – y + 3z – 1 = 0 (10b.)

je hodně způsobů, já si udělala směrový vektor přímky: s = AB = (-1, 2, 4),

normálový roviny je: n = (2, -1, 3)

tohle dosadit do rovnice pro úhel mezi dvema přímkama: cosϕ = =

… aby s byla rovnobezná s rovinou, musela by být kolmá na normálový vektor roviny, tedy úhel roven 90o, tedy cos roven 0, coz evidentne neni…

1. 2y + xy – 2y + + 2 (15b.)

f’x = 2xy + y

f’y = x2 + x – 2 + y => y = 2 – x – x2

2x(2 – x – x2) + 2 – x – x2 = 0

2x3 + 3x2 – 3x – 2 = 0

hornerovym schématem dojdete k jednomu z kořenů

já našla x1 = 2

2x2 – x – 1 = 0

D = 9

x2 = 1, x3 = -

ke každýmu x dopočítáte z y – z vyjádřené rovnice (y = 2 – x – x2)

y1 = 0

y2 = 0

y3 =

f’’xx = 2y

f’’yy = 1

f’’xy = 2x

každé x a y dosadíte do vzorce D = f’’xx.f’’yy – (f’’xy)2

D1 = -16

D2 = - 4

D3 =

Extrém existuje pouze v bodě, kde je D>0, tedy jen D3

Pokud je f’’xx >0 pak je to minimum, pokud f’’xx <0 je to maximum

f’’xx3 =

fce má v daném bodě minimum.

Dosadíme body do původní rovnice – spočítáme hodnotu fce v minimu:

f(x3,y3) = -

1. najděte všechna řešení soustavy (pokud existují): (15b.)

-2x + 3y + z – 4u = 1

-x + y + 4z – 3u = 1

x – 2y + 3z + u = 0

3x – 5y + 2z + 5u = -1

hodíte to do matice a postupnýma úpravama (gaussovou eliminační metodou) vám vyjdou tři stejný nebo nulový řádky – tzn. Soustava nemá konkrétní řešení, je třeba použít parametry (s, t)

x – 2y = -t – 3s

y = 7s – 2t – 1

--------

x = -5t + 11s – 2

(za tenhle výsledek už neručím)

y = x

= x2 - 1

-1

1

-1