8 – Matematizace reálných situací

𝐺(𝑥

1,𝑥2,…,𝑥𝑛) = √𝑥1 × 𝑥2 × … × 𝑥𝑛

𝑛

= (∏ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

)

1

𝑛

• Geometrický průměr je definován jako 𝑛-tá odmocnina součinu všech prvků (∈ 𝑅

0

+)

𝑓𝑖 =

𝑛𝑖

𝑁

=

𝑛𝑖

∑ 𝑛𝑖

𝑖

• Relativní četnost udává, kolik procent celku zabírá jedna hodnota, značí se 𝑓

𝑖

• Součet relativních četností nedá 100 %, protože porovnáváme přítomnost prvku

v poměru k celkovému počtu vzorků

Charakteristiky variability:

• Každou charakteristiku polohy chápeme jako číslo, kolem něhož jednotlivé hodnoty

znaku kolísají

• Velikost tohoto znaku vyjadřují charakteristiky variability neboli proměnlivosti znaku

𝑠𝑥

2 =

1
𝑛

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)

2

𝑛

𝑖=1

=

1
𝑛

∑(𝑥𝑗

∗ − 𝑥̅)2

𝑟

𝑖=1

𝑛𝑗

• Je-li charakteristikou polohy aritmetický průměr, pak za charakteristiku variability

volíme zpravidla rozptyl – průměr druhých mocnin odchylek od aritmet. průměru

• Rozptyl znaku x je označený jako 𝑠

𝑥

2 a 𝑥̅ je aritmetický průměr

𝑠𝑥 = √

1
𝑛

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2

𝑛

𝑖=1

• Směrodatná odchylka, označená 𝑠

𝑥, je definována jako druhá odmocnina z rozptylu

• Její rozměr odpovídá znaku statistického souboru

𝑣𝑥 =

𝑠𝑥

𝑥

× 100%

• Variační koeficient, značený 𝑣

𝑥, je definován jako podíl směrodatné odchylka a

aritmetického průměru, který se vyjadřuje v procentech

• Používá se chceme-li vyjádřit variabilitu znaku bezrozměrným číslem (v procentech)

Kvantily:

• Kvantily jsou ve statistice čísla, která dělí seznam seřazených hodnot na několik

zhruba stejně velkých celků

• Jedná se tedy o míru polohy rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny
• Příkladem kvantilu je medián, která dělí celek na 2 stejně velké kusy
• Kvantily tvoří inverzní funkci k funkci distribuční
• Mezikvantilové rozpětí představuje úsek omezený 2 kvantily (decil = 𝑄

0,9– 𝑄0,1)

Tercil – dělí celek na třetiny

Kvartil – dělí celek na čtvrtiny

Kvintil – dělí celek na pětiny

Decil – dělí celek na desetiny

Percentil – dělí celek na setiny

Příklad – slovní úloha:

Zadání:
Vzdálenost středů dvou kružnic dotýkajících se zvenčí je 12 cm. Součet obsahů obou
příslušných kruhů je 80𝜋 cm2. Určete poloměry kruhů.

Řešení:

𝑟1 + 𝑟2 = 12

𝑆1 + 𝑆2 = 80𝜋

𝜋𝑟1

2 + 𝜋𝑟

2

2 = 80𝜋

𝑟1

2 + 𝑟

2

2 = 80

𝑟1 + 𝑟2 = 12

𝑟2 = 12 − 𝑟1

(12 − 𝑟1)2 + 𝑟1

2 = 80

144 − 24𝑟1 + 𝑟1

2 + 𝑟

1

2 = 80

2𝑟1

2 − 24𝑟

1 + 64 = 0

𝑟1

2 − 12𝑟

1 + 32 = 0

(𝑟1 − 8)(𝑟1 − 4) = 0

𝐾 = {8; 4}

Poloměry kruhů jsou 8 a 4 cm.

Příklad – statistika:

Zadání:
Ve škole jsou čtyři 6. třídy, označené A, B, C, D. Počty žáků a průměrné známky
z matematiky jsou uvedeny v tabulce. Určete průměrnou známku z matematiky ve všech
třídách dohromady.