8 – Matematizace reálných situací
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Zdobínský Vojtěch, 4.E
Matematizace reálných situací
Postup při řešení slovních úloh:
1. Pozorně si přečteme zadání2. Zjistíme, co přesně hledáme3. Úlohu převedeme na matematický příklad a vypočítáme4. Napíšeme slovní výsledek (větu, kde píšeme, co je výsledkem)
Vennovy diagramy:
• Schématické vyjádření všech možných vztahů podmnožin univerzální množiny
• Znázorňuje se jako překrývající se kruhy
• Roku 1881 představil princip diagramu anglický profesor John Venn
• S podobnou teorií přišel i Leonhard Euler s tzv. Eulerovými kruhy
• Rozdíl mezi kruhy a diagramy je takový, že Eulerovy kruhy neumožňují prázdný
průnik a samostatné prvky jsou zobrazeny ve vnějším kruhu
Vztahy ve Vennových diagramech:
𝐴 ∩ 𝐵
• Průnik – Průnik množin obsahuje jen prvky, které jsou společné pro všechny množiny
𝐴 ∪ 𝐵
• Sjednocení – Sjednocením spojíme všechny prvky množin do jedné množiny
𝐻 ⊆ 𝑀
• Inkluze – Množina je podmnožinou jiné množiny
𝐵𝐴
′
• Doplněk – Podmnožina, která je součástí celku, ale její prvky nejsou částí nadmnožiny
𝐴 − 𝐵
• Rozdíl – Z množiny A odebereme prvky, které má stejné s množinou B
Statistický soubor:
• Konečná neprázdná množina objektů a dat
• Prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru
• Tyto prvky mají stejný význam, jinou hodnotu a pojí je tzv. identifikační znak (𝑥
𝑛)
• Znaky kvantitativní představují číselnou hodnotu (např. průměrná mzda, věk,…)
• Znaky kvalitativní mají hodnotu vyjádřenou slovním popisem (např. četnost jmen)
• Počet všech prvků se nazývá rozsah souboru 𝑛
Charakteristiky polohy:
𝑛 je liché: 𝑥̃ = 𝑥
(
𝑛+1
2
)
𝑛 je sudé: 𝑥̃ =
𝑥
(
𝑛
2
)
+ 𝑥
(
𝑛+2
2
)
2
• Medián je hodnota znaku prostřední statistické jednotky statistického souboru
• Medián dělí statistický soubor na 2 stejně velké celky, značí se Med nebo 𝑥̃
𝑃[𝑋 = 𝑥̂] ≥ 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖]
• Modus udává nejčastěji se opakující prvek statistického souboru, značí se Mod nebo 𝑥̂
∑ 𝑛𝑗
𝑟
𝑗=1
= 𝑛
• Součet četností všech možných hodnot znaku se rovná počtu všech jednotek souboru
𝑥̅ =
1
𝑛
(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛) =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
• Aritmetický průměr udává součet všech hodnot vydělených jejich počtem, značí se 𝑥̅
• Udává průměrnou hodnotu všech prvků (např. průměrná známka na konci roku)
• Aritmetický průměr s převrácenými hodnotami znaků se nazývá harmonický průměr
𝑥̅ =
∑
𝑤𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
• Vážený průměr je podíl součinu celkového počtu prvků s jejich váhou a počtu prvků
• S váženým průměrem pracujeme například při vypočítávání průměrné známky s váhou