8 – Matematizace reálných situací

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Matematizace reálných situací

Postup při řešení slovních úloh:

1. Pozorně si přečteme zadání2. Zjistíme, co přesně hledáme3. Úlohu převedeme na matematický příklad a vypočítáme4. Napíšeme slovní výsledek (větu, kde píšeme, co je výsledkem)

Vennovy diagramy:

• Schématické vyjádření všech možných vztahů podmnožin univerzální množiny
• Znázorňuje se jako překrývající se kruhy
• Roku 1881 představil princip diagramu anglický profesor John Venn
• S podobnou teorií přišel i Leonhard Euler s tzv. Eulerovými kruhy
• Rozdíl mezi kruhy a diagramy je takový, že Eulerovy kruhy neumožňují prázdný

průnik a samostatné prvky jsou zobrazeny ve vnějším kruhu

Vztahy ve Vennových diagramech:

𝐴 ∩ 𝐵

• Průnik – Průnik množin obsahuje jen prvky, které jsou společné pro všechny množiny

𝐴 ∪ 𝐵

• Sjednocení – Sjednocením spojíme všechny prvky množin do jedné množiny

𝐻 ⊆ 𝑀

• Inkluze – Množina je podmnožinou jiné množiny

𝐵𝐴

′

• Doplněk – Podmnožina, která je součástí celku, ale její prvky nejsou částí nadmnožiny

𝐴 − 𝐵

• Rozdíl – Z množiny A odebereme prvky, které má stejné s množinou B

Statistický soubor:

• Konečná neprázdná množina objektů a dat
• Prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru
• Tyto prvky mají stejný význam, jinou hodnotu a pojí je tzv. identifikační znak (𝑥

𝑛)

• Znaky kvantitativní představují číselnou hodnotu (např. průměrná mzda, věk,…)
• Znaky kvalitativní mají hodnotu vyjádřenou slovním popisem (např. četnost jmen)
• Počet všech prvků se nazývá rozsah souboru 𝑛

Charakteristiky polohy:

𝑛 je liché: 𝑥̃ = 𝑥

(

𝑛+1

2

)

𝑛 je sudé: 𝑥̃ =

𝑥

(

𝑛

2

)

+ 𝑥

(

𝑛+2

2

)

2

• Medián je hodnota znaku prostřední statistické jednotky statistického souboru
• Medián dělí statistický soubor na 2 stejně velké celky, značí se Med nebo 𝑥̃

𝑃[𝑋 = 𝑥̂] ≥ 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖]

• Modus udává nejčastěji se opakující prvek statistického souboru, značí se Mod nebo 𝑥̂

∑ 𝑛𝑗

𝑟

𝑗=1

= 𝑛

• Součet četností všech možných hodnot znaku se rovná počtu všech jednotek souboru

𝑥̅ =

1
𝑛

(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛) =

1
𝑛

∑ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

• Aritmetický průměr udává součet všech hodnot vydělených jejich počtem, značí se 𝑥̅
• Udává průměrnou hodnotu všech prvků (např. průměrná známka na konci roku)
• Aritmetický průměr s převrácenými hodnotami znaků se nazývá harmonický průměr

𝑥̅ =

∑

𝑤𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

∑

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

• Vážený průměr je podíl součinu celkového počtu prvků s jejich váhou a počtu prvků
• S váženým průměrem pracujeme například při vypočítávání průměrné známky s váhou