Matematika k maturitě - Petr Řezka

Matematika

Obsah:

1. Základní poznatky z matematické logiky a teorie množin

Výrok (p): Každé sdělení, o kterém můžeme rozhodnout, zda je či není pravdivé. Je-li výrok pravdivý, přiřazujeme mu 1. Není-li pravdivý, přiřazujeme mu 0.

Negace výroku (p'): tvoříme ji pomocí „není pravda, že“ nebo „neplatí, že“.

1. Logické spojky

Konjunkce (): „a“, „i“, „a zároveň“ – je pravdivá, když jsou pravdivé oba výroky

Disjunkce (alternativa) (): „nebo“ – je pravdivá, je-li pravdivý alespoň 1 výrok

Implikace (): „jestliže …, pak“ – není pravdivá jen tehdy, vyplývá-li z pravdy nepravda

Ekvivalence (oboustranná implikace) (): „…právě tehdy, když …“ – je pravdivá, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu

1. Kvantifikované výroky

Obecný kvantifikátor (): „V každém…“, „Pro každé…“ – např.

Existenční kvantifikátor (): „Existuje…“ – např.

1. Definice, věty

Definice: zavádí základní matematické pojmy

Věty: musíme je na rozdíl od definic dokázat. Skládají se z předpokladu a tvrzení. Např. – předpoklad: celé kladné liché č. – tvrzení: a2 je liché č.

věta obměněná

1. Množiny

Množina (A,B,…): soubor určitých prvků – konečná (žáci), nekonečná (R), prázdná ({})

Určení množin: výčtem (), symbolicky ()

1. Vztahy mezi množinami

Podmnožina (): „A je podmnožinou B“ – inkluze – def.

Rovnost (): def.

1. Operace mezi množinami

Vennovy diagramy: U – základní (universální) množina

Sjednocení (): def.

Průnik (): def.

zákon komutativní (o záměně):

zákon asociativní (o sdružování):

zákon distributivní (o roznásobení):

Rozdíl (): def.

Doplněk (): def.

de Morganova pravidla:

1. Číselné intervaly

Otevřený:

Uzavřený:

Polouzavřený: zleva uzavřený:

zprava uzavřený:

S intervaly pracujeme stejně jako s množinami, a proto pro ně platí stejné operace.

1. Společný násobek a dělitel

Nejmenší spol. násobek: , v prvočíselném rozkladu má každé prvočíslo obsažené v nejvyšší mocnině.

Největší spol. dělitel: , v prvočíselném rozkladu má pouze spol. prvočíslo.

1. Matematické důkazy

Přímý důkaz (): vycházíme z předpokladu dané věty a musíme se dopracovat k jejímu tvrzení

Např.

liché č.:, potom , kde je sudé.

Nepřímý důkaz (): dokazujeme větu obměněnou pomocí přímého důkazu.

Např.

nedělitelné 3: , potom nebo , kde a jsou dělitelná 3.

Důkaz sporem ():

Např.

předpokládáme , po úpravách rovnice: , protože x2 nemůže být <0 – spor s předpokladem a daná věta platí.

Matematická indukce: Dokážeme, že platí V(1), potom že pro .

Např.

1. ověření n=1; L=P

2. předpoklad máme dokázat

3. platí pro

1. Mocniny a odmocniny, mocninné funkce

1. Mocniny s celočíselným exponentem

Slučovat lze pouze souhlasné odmocniny, odmocnit součet a rozdíl nelze.