Matematika k maturitě - Petr Řezka

kde je bod roviny a u,v jsou nekolineární vektory vycházející z bodu A a náležející do roviny.

• obecná rovnice roviny:

získáme ji:

1. pomocí dvou vektorů náležejících rovině – přes normálový vektor

– normálový vektor

1. z parametrické rovnice – vyloučením t, s

2. pomocí 3 bodů náležejících do roviny – dosazením bodů za x, y, z a dopočítáním a, b, c, d, přičemž za jednu neznámou volíme

zvláštní případy rovnice:

1. Polohové a metrické vztahy útvarů v rovině

Vzájemná poloha dvou přímek:

rovnoběžné

různé – žádný společný bod

shodné – nekonečně mnoho společných bodů

různoběžné – jeden společný bod

Odchylka dvou přímek:

Vzdálenost bodu od přímky:

1. Polohové a metrické vlastnosti útvarů v prostoru

Vzájemná poloha dvou přímek:

rovnoběžné

různé – žádný společný bod

shodné – nekonečně mnoho společných bodů

různoběžné – jeden společný bod

mimoběžné – žádný společný bod, neleží v jedné rovině

Vzájemná poloha dvou rovin:

rovnoběžné

různé – žádný společný bod

shodné – nekonečně mnoho společných bodů

různoběžné – jedna společná přímka – průsečnice

Příklad:

p:

Odchylka dvou přímek: stejné jako v rovině

Odchylka přímky od roviny:

Odchylka dvou rovin:

Vzdálenost bodu a roviny:

Vzdálenost bodu od přímky: vytvoříme rovinu kolmou k přímce tak, aby procházela bodem A a spočítáme vzdálenost mezi A a průsečíkem přímky a roviny.

Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek:

Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné:

Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin:

1. Analytická geometrie kružnice a elipsy

Kružnice

Množina všech bodů, které mají od středu (S) stejnou vzdálenost r.

Středová rovnice:

Vnitřek kružnice:

Obecná rovnice:

Elipsa

Množina bodů, které mají od dvou daných pevných bodů (ohnisek) stálý součet vzdáleností, který se rovná 2a ().

A,B – hlavní vrcholy

C,D – vedlejší vrcholy

S – střed

F1, F2 – ohniska

– hlavní poloosa

– hlavní osa

– vedlejší poloosa (vždy menší než hlavní poloosa)

– vedlejší osa

– excentricita

Osová rovnice elipsy: Pro :

Pro :

Obecná rovnice elipsy:

1. Analytická geometrie paraboly

Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu (ohniska) a dané přímky (řídící přímka), která daným bodem neprochází.

F – ohnisko

d – řídící přímka

V – vrchol

VF – osa paraboly

p – parametr:

Vrcholová rovnice: inverzní kvadratická fce

graf kvadratické funkce

graf záporné kvadr. fce

1. Analytická geometrie hyperboly

Množina všech bodů, které mají tu vlastnost, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od 2 daných pevných bodu (ohnisek) je konstantní ().

A,B – vrcholy paraboly

– hlavní osa ()

b – vedlejší poloosa

F1,F2 – ohniska

e – excentricita ,

nemusí platit a>b

Osové rovnice: Pro :

Pro :

Obecná rovnice: