Matematika k maturitě - Petr Řezka

Funkce f má derivaci v <a,b>, má-li derivaci v každém bodě (a,b), v bodě a má derivaci zprava a v bodě b zleva.

Je-li funkce f definována v nějakém okolí bodu x0 a existuje-li , má funkce f v bodě x0 derivaci zleva. (Obdobně platí pro derivaci zprava).

Derivace:

goniometrické fce:

s konstantou:

sčítání:

násobení:

dělení:

složená fce:

exponenciální fce:

logaritmické fce:

implicitní funkce:

vyšší derivace:

1. Geometrický a fyzikální význam derivace

Fyzikální: derivace dráhy podle času je okamžitá rychlost, 2. derivace dráhy podle času je okamžité zrychlení

Geometrický: 1. derivace funkce v bodě dotyku je směrnice tečny

1. Vyšetřování průběhu funkce

1. Monotónnost funkce

Rostoucí: jestliže je v každém bodě intervalu první derivace kladná ()

Klesající: je-li v každém bodě 1.derivace záporná ()

Příklad:

rostoucí:

klesající:

1. Extrémy funkce

Funkce má v x0 maximum právě tehdy, existuje-li okolí bodu x0 takové, že pro každé x náležející do tohoto okolí platí, že funkční hodnota je menší nebo rovna funkční hodnotě funkce v x0. Obdobně platí i pro minimum funkce.

Stacionární body: – v těchto bodech má funkce lokální minimum (pokud je ) nebo maximum (). Pokud je druhá derivace ve stacionárním bodě rovna nule, nejedná se o extrém.

Inflexní bod: – nelze udělat tečnu, funkce konkávní přechází na konvexní.

konkávní funkce: – celý graf leží pod tečnou

konvexní funkce: – celý graf leží nad tečnou

1. Vyšetření průběhu funkce

1. Určit definiční obor funkce

funkce sudá, lichá, periodická

1. Body, v nichž není definována, ale má v nich limitu zprava a zleva

Limita v nevlastních bodech

1. Průsečíky s osami x,y

Znaménka funkčních hodnot

1. Výpočet I. derivace

Nulové body I. derivace – stacionární body

Body, v nichž není derivace definována

1. Intervaly monotónnosti

2. Výpočet II. derivace

Nulové body II. derivace – inflexní body

Body, v nichž není derivace definována

1. Lokální extrémy

Intervaly konvexnosti a konkávnosti

1. Asymptoty

2. Obor hodnot funkce

3. Graf funkce

Příklad:

1. D=R

– ani sudá, ani lichá

1. průsečík s x:

průsečík s y:

stacionární body:

1. rostoucí: klesající:

inflexní body:

1. – lokální maximum [1,4] – lokální minimum [3,0]

konvexní: konkávní:

1. H=R

1. Globální extrémy

Příklad: Do koule o poloměru R vepište válec největšího objemu.

v tomto bodě je maximum funkce

1. Primitivní funkce, určitý integrál

Diferenciál funkce

dx – diferenciál argumentu

dy – diferenciál funkce

Výpočet absolutních chyb: dy

Výpočet relativních chyb:

Příklad: Válec má průměr i výšku cm. Jaká bude relativní chyba při výpočtu objemu?

D=80,

1. Neurčitý integrál

Primitivní funkce: , F(x) je funkce primitivní k f(x)

Neurčitý integrál: , kde je neurčitý integrál, je integrant a je primitivní funkce. Integrál je opak derivace.

1. Základní integrály

2. Integrační metody