Posloupnosti

47.

Posloupnosti

Posloupnost je funkce definovaná v množině přirozených čísel N.

Funkční hodnoty - posloupnosti přiřazené přirozenému číslu n se nazývají členy posloupnosti a značí se např. an, bn...

Konečná posloupnost – každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel n≤ n0, kde n0 je pevně dané číslo z N

Nekonečná posloupnost – každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel

Zadání posloupnosti - a) výčtem členů, popř. graficky (u konečných posloupností); grafické znázornění v rovině v prostoru

b) rekurentním vzorcem (zadány první členy a vztah pro výpočet dalších členů posloupnosti pomocí předcházejících) an+1=an . x

c) vzorcem pro n-tý člen

Vlastnosti – rostoucí: an+1 > an

klesající: an+1 < an

nerostoucí: an+1 ≤ an

neklesající: an+1 ≥ an

monotónní: posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající

omezená shora: existuje takové h ∈ R, že pro každé n∈ N je an≤ h

omezená zdola: existuje takové d ∈ R, že pro každé n∈ N je an≥ d

omezená: posloupnost je omezená shora i zdola zároveň

48.

Aritmetická posloupnost

Posloupnost se nazývá aritmetická právě když existuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n platí, že

d – diference aritmetické posloupnosti

d = an+1 - an

an = a1 +(n – 1).d

as = ar + (s – r).d as > ar

pro součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti platí vzorec:

49.

Geometrická posloupnost

Posloupnost se nazývá geometrická právě když existuje takové reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n platí an+1 = an. q

q – koeficient geometrické posloupnosti

q =

an = a1. qn – 1

ax = ar . q x – r

sn = a1 . n (q = 1)

sn = a1. (q ≠ 1)