20 – Elipsa
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Zdobínský Vojtěch, 4.E
Elipsa
Definice
:
• Elipsa je množina všech bodů, jejichž součet vzdáleností od dvou pevně daných bodů
je stálý (tyto body se nazývají ohniska)
• Elipsa je středová kuželosečka 2. stupně; jedná se o uzavřenou křivku
• Využívá se v analytické geometrii a astronomii (trajektorie vesmírných těles)
|𝐸𝐾| + |𝐹𝐾| = |𝐹𝐿| + |𝐸𝐿|
𝐸; 𝐹 = ohniska elipsy
𝐾; 𝐿 = libovolné body elipsy
Pojmy:
• Ohniska – pevně dané body, od niž se určují vzdálenosti bodů elipsy (značíme 𝐸 a 𝐹)
• Průvodič – úsečka, spojující libovolný bod elipsy s ohniskem
• Střed elipsy – střed úsečky, jejíchž konce tvoří ohniska elipsy (značí se 𝑆)
• Hlavní osa – přímka, procházející ohnisky elipsy, spojuje nejvzdálenější body elipsy
• Hlavní vrcholy – průsečíky elipsy s hlavní osou (označujeme je jako 𝐴 a 𝐵)
• Hlavní poloosa – úsečka spojující střed elipsy s hlavním vrcholem (𝑎 = |𝐴𝑆| = |𝐵𝑆|)
• Vedlejší osa – kolmice na hlavní osu procházející středem elipsy
• Vedlejší vrcholy – průsečíky elipsy s vedlejší osou (značíme jako 𝐶 a 𝐷)
• Vedlejší poloosa – úsečka spojující střed elipsy s vedlejšími vrcholy (𝑏 = |𝐶𝑆| = |𝐷𝑆|)
• Excentricita – vzdálenost ohniska a středu elipsy (značí se 𝑒 a platí: 𝑒 = √𝑎2 − 𝑏2)
• Numerická excentricita – podíl excentricity a délky hlavní poloosy (𝜀 =
𝑒
𝑎
)
Analytické vyjádření elipsy:
(𝑥 − 𝑚)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑛)2
𝑏2
= 1
• Středová rovnice elipsy, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou 𝑥
• Body 𝑥 a 𝑦 jsou všechny body elipsy, body 𝑚 a 𝑛 jsou souřadnice středu elipsy
(𝑥 − 𝑚)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑛)2
𝑎
= 1
• Středová rovnice elipsy, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou 𝑦
• Body 𝑥 a 𝑦 jsou všechny body elipsy, body 𝑚 a 𝑛 jsou souřadnice středu elipsy
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
• Obecná rovnice elipsy, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ 𝑅, 𝑝 × 𝑞 > 0
Odvození obecné rovnice elipsy:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
(𝑥 − 𝑚)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑛)2
𝑏2
= 1
𝑏2(𝑥 − 𝑚)2
+ 𝑎2(𝑦 − 𝑛)2 = 𝑎2𝑏2
𝑏𝑥2 − 2𝑏2𝑥𝑚 + 𝑏2𝑚2 + 𝑎2𝑦2 − 2𝑎2𝑦𝑚 + 𝑎2𝑚2 = 𝑎2𝑏2
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑒 = 0
Vzájemná poloha přímky a elipsy:
• Při hledání společné polohy přímky a elipsy řešíme soustavu lineární a kvadratické
rovnice, která může mít 3 možná řešení:
1. Dvě řešení (přímka je sečna)
2. Jedno řešení (přímka je tečna)
3. Žádné řešení (jedná se o vnější přímku)
Tečna elipsy:
𝑥0𝑥
𝑎2
+
𝑦0𝑦
𝑏2
= 1
• Středový tvar rovnice tečny elipsy v bodě doteku 𝐵[𝑥
0;𝑦0]
(𝑥0 − 𝑚)(𝑥 − 𝑚)