19 – Kružnice

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Kružnice

Definice

:

𝑘 = {𝑋 ∈ 𝜌, |𝑋𝑆| = 𝑟}

• Kružnice je množina všech bodů stejně vzdálených od pevně daného bodu (středu)
• Kružnice lze také definovat jako středovou kuželosečku, u níž je rovina řezu kolmá

k ose kužele

• Kružnice se typicky značí malým písmenem 𝑘

Pojmy:

• Průměr je vzdálenost dvou bodů kružnice, které se nacházejí na přímce, která prochází

oběma body a zároveň středem kružnice (značí se 𝑑)

• Střed je pevně daný bod, od něhož jsou všechny body kružnice stejně vzdálené (𝑆)
• Poloměr je polovina průměru, je to vzdálenost středu od lib. bodu kružnice (𝑟)
• Obvod je délka křivky kružnice, délka křivky ohraničující vnitřek kruhu (značí se 𝑂)
• Obsah kružnice je plocha, která je ohraničená obvodem kružnice (značí se 𝑆)

Vzorce

:

𝑂 = 2𝜋𝑟 = 𝜋𝑑 𝑆 = 𝜋𝑟2

𝑘: (𝑥 − 𝑚)2 + (𝑦 − 𝑛)2 = 𝑟2

• Středová rovnice kružnice se středem 𝑆[𝑚;𝑛] a poloměrem 𝑟
• 𝑥 a 𝑦 jsou všechny body na kružnici

𝑘: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑚𝑥 − 2𝑛𝑦 + 𝑝 = 0

• Obecná rovnice kružnice se středem 𝑆[𝑚;𝑛], kde 𝑝 = 𝑚2 + 𝑛2 − 𝑟2

Thaletova kružnice:

• Věta o velikosti úhlu trojúhelníku zkonstruovaného nad průměrem kružnice
• Prvně jí odvodil řecký filosof a matematik Tháles z Milétu, který ji dokázal

„Všechny trojúhelníky, jejichž 2 vrcholy leží na průměru kružnice a třetí leží na kružnici,

svírají pravý úhel.“

Geometrický důkaz Thaletovy věty:

Načrtneme Thaletovu kružnici, kde body C a B jsou body
průměru a bod A je vrchol trojúhelníku nacházející se na
kružnici. Pokud bod A promítneme podle středové
souměrnosti do bodu D, vznikne trojúhelník CBD. Po
spojení bodů A, B, C a D vznikne pravidelný čtyřúhelník.
Jelikož jsou úhlopříčky AD a CB stejně dlouhé, je
rovnoběžník pravoúhlý.

Kruh a jeho části:

• Kruh je množina všech bodů ve stejné nebo menší vzdálenosti od daného bodu
• Mezikruží je množina všech bodů ohraničená dvěma soustřednými kružnicemi
• Kruhová výseč je část kruhu příslušná určitému středovému úhlu θ
• Půlkruh je typ kruhové výseče příslušné přímému úhlu
• Čtvrtkruh je typ kruhové výseče příslušné pravému úhlu
• Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou, vzniklá rozdělením kruhu sečnou
• Každá středová úseč je příslušná středovému úhlu α
• Středový úhel může být konvexní (α < 180°) a konkávní (180° < α < 360°)

Kružnice a přímka:

• Při určování vzájemné polohy kružnice a přímky, řešíme soustavu KVAdratické a

lineární rovnice, která může mít 3 možná řešení:

1. Dvě řešení (přímka

𝑝 je sečnou)

2. Jedno řešení (přímka

𝑝 je tečnou)

3. Žádné řešení (přímka