19 – Kružnice

𝑝 je vnější přímkou)

• Každá tečna je kolmá na poloměr kružnice v bodě doteku 𝑋

0[𝑥0; 𝑦0]

(𝑥0 − 𝑚)(𝑥 − 𝑚) + (𝑦0 − 𝑛)(𝑦 − 𝑛) = 𝑟2 𝑆𝑇

⃗⃗ × 𝑆𝑋

⃗⃗⃗ = |𝑆𝑇

⃗⃗ | × |𝑆𝑋

⃗⃗⃗ | × cos 𝜑

• 𝑆𝑇 = vzdálenost středu od bodu doteku, 𝑆𝑋 = vzdálenost středu od bodu na tečně

Mocnost bodů ke kružnici:

• Mocností bodu 𝑀 ke kružnici 𝑘 rozumíme reálné číslo 𝑚, pro než platí:

1. |

𝑀𝑋||𝑀𝑌| = |𝑚|, kde 𝑋 a 𝑌 jsou průsečíky kružnice a sečny procházející 𝑀

2. Je-li

𝑀 vnějším bodem kružnice 𝑘, je 𝑚 > 0

3. Je-li

𝑀 vnitřním bodem kružnice 𝑘, je 𝑚 < 0

4. Nachází-li se bod

𝑀 na kružnici, je 𝑚 = 0

• Alternativní vzorec pro mocnost bodu 𝑀 je |𝑀𝑆|2 − 𝑟2 = |𝑚|

Kružnice v konstrukčních úlohách:

• Kružnice opsaná je kružnice, která má střed ve společném bodu os stran trojúhelníku
• Vrcholy tohoto trojúhelníku leží na kružnici, poloměr je vzdálenost vrcholů od středu
• Kružnice vepsaná je taková kružnice, která se dotýká stran mnohoúhelníku
• Takový mnohoúhelník se nazývá tečnový, střed kružnice leží na těžišti (trojúhelníku)

Apolloniova kružnice:

• Apollónius z Pergy byl řecký matematik a geometr, který žil ve 3. století př. n. l.
• Polemizoval s Archimédem, proslul především svým zkoumáním kuželoseček
• Apolloniova kružnice je matematická věta, která tvrdí:

Nechť jsou v rovině dány dva různé body A, B a kladné číslo 𝜆 ≠ 1 ∩ 𝜆 ≠ 0. Množinou všech

bodů X dané roviny, pro něž platí |𝐴𝑋| ∶ |𝐵𝑋| = 𝜆, je kružnice ℎ𝐴𝐵,𝜆 sestrojená nad

průměrem CD, kde C a D jsou body přímky AB splňující vztah:

|𝐴𝐶|: |𝐵𝐶| = |𝐴𝐷|: |𝐵𝐷| = 𝜆

• Důkaz této věty provedeme následovně:

1. Na přímku si načrtneme body A a B v libovolné vzdálenosti od sebe (

𝐴 ≠ 𝐵)

2. Určíme si velikost proměnné

𝜆 (𝜆 je různé od nuly a jedničky)

3. Na přímce si vyznačíme body C a D, pro něž platí vztah: |

𝐴𝐶|: |𝐵𝐶| = 𝜆

4. Nad body C a D sestrojíme kružnici

5. Na kružnici si zvolíme bod X a načrtneme přímky AX, CX, BX a DX

6. Pomocí podobnosti trojúhelníku zjistíme, že úhel |∢CXD| je pravý

7. Bodem B vedeme rovnoběžku s přímkou AX a vzniknou nám body Y a Z

8.

∆𝐴𝐶𝑋~∆𝐵𝐶𝑌, |𝐴𝐶|: |𝐵𝐶| = |𝐴𝑋||𝐵𝑋| = |𝐴𝑌||𝐵𝑌| = 𝜆, ∆𝐴𝐷𝑋~∆𝐵𝐷𝑍

9. Z podobnosti úhlu jsme zjistili, že úhel |∢CXD| je pravý (Thaletova kružnice)

10. Opět využijeme podobnosti trojúhelníků k odvození některých vztahů

11.

∆𝐴𝐷𝑋~∆𝐵𝐷𝑌, |𝐴𝐶|: |𝐵𝐶| = |𝐴𝑋|: |𝐵𝑌| = 𝜆 = |𝐴𝐷|: |𝐵𝐷| = |𝐴𝑋|: |𝐵𝑍|

12. Dosazením |