Reálná čísla, algebraické výrazy

5.

Reálná čísla, algebraické výrazy

reálná čísla jsou uzavřena vzhledem k √, 2, +, -, x, :

(iracionální čísla π, Ludolfovo číslo...)

Kromě množin N, Z, Q jsou to také intervaly (uzavřený, otevřený, polouzavřený, polootevřený, neomezený)

<a, b>={x=R; |s-x|≤ p} s=a+b/2

Mocnina – fce, která keždému a∈R přiřazuje a.a.a... – n-krát=an, kde n je přirozené číslo

an a=mocněnec, základ mocniny; n=exponent, mocnitel; an=mocnina

Mocnina s exponentem – exponenty: celočíselné – a0=1 (a≠0!)

a-n=1/an (a≠0)

: racionální – am/n=n√ am

: iracionální - 2π - pomocí přibližné hodnoty – aproximace

(23<2π<24; 23,1<2π<23,2; ...)

Pravidla pro počítání s mocninami Pravidla pro počítání s odmocninami

aras ar+s ar/as ar-s (ar)s ar.s (ab)m (ambm) (a/b)m am/bm n√ a.n√ b n√ ab n√ a / n√ b n√ a/b (n√ a)m n√ am am/n n√ m√ a n.m√a n√ an |a|

Odmocnina: ∀ n∈N; a∈R0+, b∈R0+ (reálné kladné číslo +0)

n-tou odmocninou nezáporného reálného čísla A je nezáporné reálné číslo B, pro které platí: bn=a; n√ a=b ↔ bn=a

x=n√ a x=n-tá odmocnina z čísla a; a=odmocněnec, základ odmocniny; n=odmocnitel

Usměrňování jmenovatele:

Algebraický výraz – vznikne zápisem konstant (hodnota který se nikdy nemění) a proměnných (hodnoty se mění, jakékoliv číslo) spojených pomocí znaků operací (+, -, x, :, √, 2)

algebraický výraz: 1/3 πr Konstanta je π, ale i jakékoliv jiné číslo (2,3,4...)

Typy algebraických výrazů: počet členů je odvozen znaménky +,- (jednočlen: , mnohočlen:2+x)

racionální celistvý výraz – všechny mnohočleny

racionální lomený výraz – musí mít proměnnou ve jmenovateli (x/4 – celistvý výraz, 4/x – lomený výraz)

iracionální výraz – odmocnina

Každý algebraický výraz má definiční obor (určování podmínek) – je to množina konstant, jež je možno dosadit za proměnnou.

x+1/x-5 D(f)=R-{5}

Vzorečky: (a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3= a3-3a2b+3ab2-b3

vyšší podle binomické věty

(a+b)(a-b)=a2-b2

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Úpravy algebraického výrazu

Př. (6ax-9bx):3x=2a-3

-6ax±0

-9bx

Př. (2x4-x3+3x2-x+1):(x2+1)=2x2-x+1

-2x4±2x2

0-x3+x2-x+1

x3+x

0+x2+1

0

Úpravy mnohočlenů

Př. 5a2b-10ab2=5ab(a-b)

Př. (3-v)-(v-3)=(3-v)+(3-v)=(3-v)(1+1)=(3-v)2

Př. 4-(1-p)2=(2+(1-p))(2-(1-p))=(3-p)(1+p)

Doplnění na čtverec