10 – Mocninné, exponenciální a logaritmické funkce

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Mocninné, exponenciální a logaritmické funkce

Mocninné funkce:

𝑓: 𝑦 = 𝑎𝑥𝑟 𝑎, 𝑟 ∈ 𝑅

• Je to elementární funkce, jejíž hodnoty jsou přímo úměrné určité mocnině proměnné
• 𝑥 je proměnná, 𝑎 𝑟 jsou konstanty, 𝑟 se nazývá exponent
• Funkce, u niž je 𝑟 číslo sudé, jsou funkce sudé a u lichých exponentu je funkce lichá
• Dělíme je na mocninné funkce s celočíselným a přirozeným mocnitelem
• Mocninná funkce, jejíž exponent 𝑟 je celé číslo nebo 0, jedná se o polynomní funkci
• Je-li proměnná ve jmenovateli, jedná se o nepřímou úměru („mocninná lomená“)

Exponenciální funkce:

𝑓: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑥 𝑟 ≠ 1

• Je funkce, kde proměnná je zároveň exponentem funkce, grafem je exponenciála
• Inverzní funkcí k exponenciální funkci je logaritmická funkce
• Exponenciální funkce, kde 𝑟 < 1, je zdola omezená 0, je prostá a spojitá (nepřerušená)
• Definičním oborem jsou všechna reálná čísla, obor hodnot jsou kladná reálná čísla
• Funkce se základem 𝑟 > 0 jsou funkce rostoucí, funkce s 𝑟 < 0 jsou klesající

Exponenciální rovnice:

• Rovnice, u nichž se neznámá vyskytuje v exponentu
• Tyto rovnice řešíme třemi způsoby:

1. 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 => 𝑥 = 𝑦 (𝑎 > 0)

2. Substituce
3. Logaritmování

Příklad – exponenciální rovnice:

7𝑥+2 + 2 × 7𝑥−1 = 345

49 × 7𝑥 + 2 × 7𝑥 × 7−1 = 345

343 × 7𝑥 + 2 × 7𝑥 = 2415

345 × 7𝑥 = 345 × 7

7𝑥 = 71

𝑥 = 1

𝐾 = {1}

Logaritmické funkce:

𝑦 = log𝑎 𝑥 𝑎 ∈ 𝑅

+ /{1}

• Logaritmus je kladné reálné číslo 𝑥 o základu 𝑎, pro něž platí, že 𝑎𝑦 = 𝑥
• 𝑥 je logaritmované číslo (argument), 𝑦 je výsledek logaritmu a 𝑎 je základ logaritmu
• Logaritmická funkce je inverzní k funkci exponenciální
• Defaultně pracujeme s logaritmem o základu 10 (dekadický)
• Pro logaritmickou funkci 𝑦 = log𝑎 𝑥 je prostá a osa 𝑦 je asymptotou grafu

• Funkce, kde 𝑎 > 1 jsou rostoucí, funkce se základem 𝑎 ∈ (0; 1) jsou klesající
• Definiční obor logaritmické funkce je (0; ∞), obor hodnot je množina reálných čísel
• Eulerovo číslo je základ jediné exponenciální funkce, která má s přímkou 𝑦 = 𝑥 + 1

právě jeden společný bod, jeho přibližná hodnota je 2,718281846

• Logaritmická funkce je funkce inverzní k funkci exponenciální

Věty o logaritmech:

log𝑎(𝑟 × 𝑠) = log𝑎 𝑟 + log𝑎 𝑠

1. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů mocněnců

log𝑎

𝑟
𝑠

= log𝑎 𝑟 − log𝑎 𝑠

2. Logaritmus podílů je roven rozdílu logaritmu dělence a dělitele

log𝑎 𝑟

𝑠 = 𝑠 × log𝑎 𝑟

3. Logaritmus mocniny se rovná součinu mocnitele a logaritmu mocněnce

Další vzorce pro logaritmus:

• log

𝑎 𝑎 = 1

• log

𝑎 1 = 0